高中數(shù)學(xué)，正弦定理和余弦定理貫穿著整個(gè)高中數(shù)學(xué)階段，可以說是非常重要的知識(shí)點(diǎn)了。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決三角形的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。

高中數(shù)學(xué)正弦定理

概述

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

正弦定理

(1)已知三角形的兩角與一邊，解三角形

(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解三角形

(3)運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦。[1]

證明

步驟1

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA因?yàn)樵谕瑘A或等圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以∠DAB=90度因?yàn)樵谕瑘A或等圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R類似可證其余兩個(gè)等式。

高中數(shù)學(xué)余弦定理

概述

余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。

直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值

性質(zhì)

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì)——S△ABC=1/2absinS△ABC=1/2bcsinAS△ABC=1/2acsinB

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

證明

平面向量證法(覺得這個(gè)方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由余弦定理得出來的，怎么又能反過來證明余弦定理)　∵如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)再拆開，得c2=a2+b2-2abcosC即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中做AD⊥BC.

∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2b2=(sinB c)2+(a-cosB c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac cosB+(cosB)2c2b2=(sin2B+cos2B) c2-2ac cosB+a2b2=c2+a2-2ac cosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/1109967.html

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