2015年山東高考數(shù)學(xué)試題
一、:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
。1)復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為( D )
A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 元素的個數(shù)是( C )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
。3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時, f(x) =x2+ ,則f(-1)= ( A )
。ˋ)-2 (B)0 (C)1 (D)2
。4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面積是邊長為 的正 三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為 ( B )
。ˋ) (B) (C) (D)
。5)將函數(shù)y=sin(2x + )的圖像沿x軸向左平移 個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖像,則 的一個可能取值為 B
。ˋ) (B) (C)0 (D)
。6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,為不等式組: ,所表示的區(qū)域上一動點(diǎn),則直線O斜率的最小值為 C
(A)2 (B)1 (C) (D)
。7)給定兩個命題p、q,若?p是q的必要而不充分條件,則p是?q的 B
。ˋ)充分而不必條件 (B)必要而不充分條件
。–)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
(8)函數(shù)y=xcosx + sinx 的圖象大致為 D
。ˋ) (B) (C) (D)
。9)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為 A
(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0
。10)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 B
(A)243 (B)252 (C)261 (D)279
。11)拋物線C1:y= x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2: 的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn).若C1在點(diǎn)處的切線平行于C2的一條漸近線,則p= D
。12)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng) 取得最大值時, 的最大值
為 B (A)0 (B)1 (C) (D)3
二、題:本大題共4小題,每小題4分,共16分
。13)執(zhí)行右面的程序框圖,若輸入的 的值為0.25,則輸入的n的值為 3
(14)在區(qū)間[-3,3]上隨機(jī)取一個數(shù)x,使得 x+1 - x-2 ≥1成立的概率為
(15)已知向量 與 的夾角為 ,且 若
且 ,則實數(shù) 的值為
(16)定義“正對數(shù)”: ,現(xiàn)有四個命題:
①若 ,則
②若 ,則
③若 ,則
④若 ,則
其中的真命題有: ①③④ (寫出所有真命題的編號)
三、解答題:本大題共6小題,共74分.
。17)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= .
。á瘢┣骯,c的值;
(Ⅱ)求sin(A-B)的值.
解答:(1)由cosB= 與余弦定理得, ,又a+c=6,解得
(2)又a=3,b=2, 與正弦定理可得, , ,
所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=
。18)(本小題滿分12分)
如圖所示,在三棱錐P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),AQ=2BD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH。
。á瘢┣笞C:AB//GH;
。á颍┣蠖娼荄-GH-E的余弦值 .
解答:(1)因為C、D為中點(diǎn),所以CD//AB
同理:EF//AB,所以EF//CD,EF 平面EFQ,
所以CD//平面EFQ,又CD 平面PCD,所以
CD//GH,又AB//CD,所以AB//GH.
(2)由AQ=2BD,D為AQ的中點(diǎn)可得,△ABQ為直角三角形,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BA、BC、BP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=BP=BQ=2,可得平面GCD的一個法向量為 ,平面EFG的一個法向量為 ,可得 ,所以二面角D-GH-E的余弦值為
(19)本小題滿分12分
甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨(dú)立.
。1)分別求甲隊以3:0,3:1,3:2勝利的概率
(2)若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為
3:2,則勝利方得2分、對方得1分,求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解答:(1) , ,
(2)由題意可知X的可能取值為:3,2,1,0
相應(yīng)的概率依次為: ,所以EX=
。20)(本小題滿分12分)
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(2) 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和Tn,且Tn+ = λ(λ為常數(shù)),令cn=b2n,(n∈N•).求數(shù)列{cn}的前n項和Rn.
解答:(1)由S4=4S2,a2n=2an+1,{an}為等差數(shù)列,可得,
所以
(2)由Tn+ = λ可得, ,Tn-1+ = λ兩式相減可得,當(dāng) 時, ,所以當(dāng) 時,cn=b2n= ,錯位相減法可得,Rn=
當(dāng) 時,cn=b2n= ,可得Rn=
。21)(本小題滿分13分)
設(shè)函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù), .
(1)求 的單調(diào)區(qū)間,最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程 根的個數(shù).
解答:(1) ,令 得, ,
當(dāng)
所以當(dāng) 時,函數(shù)取得最的最大值
(2)由(1)知,f(x)先增后減,即從負(fù)無窮增大到 ,然后遞減到c,而函數(shù)lnx是(0,1)時由正無窮遞減到0,然后又逐漸增大。
故令f(1)=0得, ,
所以當(dāng) 時,方程有兩個根;
當(dāng) 時,方程有一兩個根;
當(dāng) 時,方程有無兩個根.
(22)(本小題滿分13分)
橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為 ,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.
。á瘢┣髾E圓C的方程;
。á颍c(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線
P交C的長軸于點(diǎn)(,0),求的取值范圍;
。á螅┰冢á颍┑臈l件下,過點(diǎn)p作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn), 設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k≠0,試證明 為定值,并求出這個定值.
解答:(1)由已知得, , ,解得
所以橢圓方程為:
(2)由題意可知: = , = ,設(shè) 其中 ,將向量坐標(biāo)代入并化簡得:( ,因為 ,
所以 ,而 ,所以
(3)由題意可知,l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為:
,所以 ,而 ,代入 中得:
為定值.
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