2015年全國各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線
一、
1 ．（2015年高考湖北卷（文））已知 ,則雙曲線 : 與 : 的（ �。�
A．實軸長相等B．虛軸長相等C．離心率相等D．焦距相等
【答案】D
2 ．（2015年高考四川卷（文））從橢圓 上一點 向 軸作垂線,垂足恰為左焦點 , 是橢圓與 軸正半軸的交點, 是橢圓與 軸正半軸的交點,且 ( 是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
3 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線L過F且與C交于A, B兩點.若AF=3BF,則L的方程為（ �。�
A．y=x-1或y=-x+1B．y= (X-1)或y=- (x-1)
C．y= (x-1)或y=- (x-1)D．y= (x-1)或y=- (x-1)
【答案】C
4 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文）） 為坐標(biāo)原點, 為拋物線 的焦點, 為 上一點,若 ,則 的面積為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知雙曲線 的離心率為 ,則 的漸近線方程為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
6 ．（ 2015年高考福建卷（文））雙曲線 的頂點到其漸近線的距離等于（ ）
A． B． C．1D．
【答案】B
7 ．（2015年高考廣東卷（文））已知中心在原點的橢圓C的右焦點為 ,離心率等于 ,則C的方程是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
8 ．（2015年高考四川卷（文））拋物線 的焦點到直線 的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為 是 上的點 ,則 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．（2015年高考大綱卷（文））已知 且 則 的方程為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
11．（2015年高考遼寧卷（文））已知橢圓 的左焦點為F 兩點,連接了 ,若 ,則 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12．（2015年高考重慶卷（文））設(shè)雙曲線 的中心為點 ,若有且只有一對相較于點 、所成的角為 的直線 和 ,使 ,其中 、 和 、 分別是這對直線與雙曲線 的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
13．（2015年高考大綱卷（文））已知拋物線 與點 ,過 的焦點且斜率為 的直線與 交于 兩點,若 ,則 （ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
14．（2015年高考北京卷（文））雙曲線 的離心率大于 的充分必要條件是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
15．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））記橢圓 圍成的區(qū)域(含邊界)為 ,當(dāng)點 分別在 上時, 的最大值分別是 ,則 （ ）
A．0B． C．2D．
【答案】D
16．（2015年高考安徽（文））直線 被圓 截得的弦長為（ �。�
A．1B．2C ．4D．
【答案】C
17．（2015年高考江西卷（文））已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點,與其準(zhǔn)線相交于點N,則F:N=（ �。�
A．2: B．1:2C．1: D．1:3
【答案】C
18．（2015年高考山東卷（文））拋物線 的焦點與雙曲線 的右焦點的連線交 于第一象限的點,若 在點處的切線平行于 的一條漸近線,則 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
19．（2015年高考浙江卷（文））如圖F1.F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點（ �。�
A．B分別是C1.C2在第二.四象限的公共點,若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是
（ �。�
A． 2B． 3C．32D． 62
【答案】D．
二、題
20．（2015年高考湖南（文））設(shè)F1,F2是雙曲線C, (a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P.使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為____ _______.
【答案】
21．（2015年高考陜西卷（文））雙曲線 的離心率為________.
【答案】
22．（2015年高考遼寧卷（文））已知 為雙曲線 的左焦點, 為 上的點,若 的長等于虛軸長的2倍,點 在線段 上,則 的周長為____________.
【答案】44
23．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））設(shè) 是橢圓 的長軸,點 在 上,且 .若 , ,則 的兩個焦點之間的距離為_______.
【答案】
24．（2015年高考北京卷（文））若拋物線 的焦點坐標(biāo)為(1,0)則 =____;準(zhǔn)線方程為_____.
【答案】2,
25．（2015年高考福建卷（文））橢圓 的左、右焦點分別為 ,焦距為 .若直線 與
橢圓 的一個交點 滿足 ,則該橢圓的離心率等于__________
【答案】
26．（2015年高考天津卷（文））已知拋物線 的準(zhǔn)線過雙曲線 的一個焦點, 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為______.
【答案】
三、解答題
27．（2015年高考浙江卷（文））已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1)
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ) 過點F作直線交拋物線C于A.B兩點.若直線AO.BO分別交直線l:y=x-2于.N兩點,
求N的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知可得拋物線的方程為: ,且 ,所以拋物線方程是: ;
(Ⅱ)設(shè) ,所以 所以 的方程是: ,
由 ,同理由
所以 ①
設(shè) ,由 ,
且 ,代入①得到:
,
設(shè) ,
①當(dāng) 時
,所以此時 的最小值是 ;
②當(dāng) 時,
,所以此時 的最小值是 ,此時 , ;
綜上所述: 的最小值是 ;
28．（2015年高考山東卷（文））在平面直角坐標(biāo)系 中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在 軸上,短軸長為2,離心率為
(I)求橢圓C的方程
(II)A,B為橢圓C上滿足 的面積為 的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C與點P,設(shè) ,求實數(shù) 的值.
【答案】
將 代入橢圓方程 ,得
29．（2015年高考廣東卷（文））已知拋物線 的頂點為原點,其焦點 到直線 的距離為 .設(shè) 為直線 上的點,過點 作拋物線 的兩條切線 ,其中 為切點.
(1) 求拋物線 的方程;
(2) 當(dāng)點 為直線 上的定點時,求直線 的方程;
(3) 當(dāng)點 在直線 上移動時,求 的最小值.
【答案】(1)依題意 ,解得 (負(fù)根舍去)
拋物線 的方程為 ;
(2)設(shè)點 , , ,
由 ,即 得 .
∴拋物線 在點 處的切線 的方程為 ,
即 .
∵ , ∴ .
∵點 在切線 上, ∴ . ①
同理, . ②
綜合①、②得,點 的坐標(biāo)都滿足方程 .
∵經(jīng)過 兩點的直線是唯一的,
∴直線 的方程為 ,即 ;
(3)由拋物線的定義可知 ,
所以
聯(lián)立 ,消去 得 ,
當(dāng) 時, 取得最小值為
30．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））本題共有3個小題.第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
如圖,已知雙曲線 : ,曲線 : . 是平面內(nèi)一點,若存在過點 的直線與 、 都有公共點 ,則稱 為“ 型點”.
(1)在正確證明 的左焦點是“ 型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線 與 有公共點,求證 ,進(jìn)而證明原點不是“ 型點;
(3)求證:圓 內(nèi)的點都不是“ 型點”.
【答案】
31．（2015年高考福建卷（文））如圖,在拋物線 的焦點為 ,準(zhǔn)線 與 軸的交點為 .點 在拋物線 上,以 為圓心 為半徑作圓,設(shè)圓 與準(zhǔn)線 的交于不同的兩點 .
(1)若點 的縱坐標(biāo)為2,求 ;
(2)若 ,求圓 的半徑.
【答案】解:(Ⅰ)拋物線 的準(zhǔn)線 的方程為 ,
由點 的縱坐標(biāo)為 ,得點 的坐標(biāo)為
所以點 到準(zhǔn)線 的距離 ,又 .
所以 .
(Ⅱ)設(shè) ,則圓 的方程為 ,
即 .
由 ,得
設(shè) , ,則:
由 ,得
所以 ,解得 ,此時
所以圓心 的坐標(biāo)為 或
從而 , ,即圓 的半徑為
32．（2015年高考北京卷（文））直線 ( ) : 相交于 , 兩點, 是坐標(biāo)原點
(1)當(dāng)點 的坐標(biāo)為 ,且四邊形 為菱形時,求 的長.
(2)當(dāng)點 在 上且不是 的頂點時,證明四邊形 不可能為菱形.
【答案】解:(I)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.
所以可設(shè) ,代入橢圓方程得 ,即 . 所以AC= .
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.
因為點B不是 的頂點,且AC⊥OB,所以 .
由 ,消去 并整理得 .
設(shè)A ,C ,則 , .
所以AC的中點為( , ).
因為為AC和OB的交點,且 , ,所以直線OB的斜率為 .
因為 ,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形, 與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點B不是W的頂點 時,四邊形OABC不可能是菱形.
33．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知圓 ,圓 ,動圓 與圓 外切并且與圓 內(nèi)切,圓心 的軌跡為曲線 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 是與圓 ,圓 都相切的一條直線, 與曲線 交于 , 兩點,當(dāng)圓 的半徑最長是,求 .
請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑 ;圓N的圓心為N(1,0),半徑 .
設(shè)知P的圓心為P(x,y),半徑為R.
(I)因為圓P與圓外切并且與圓N內(nèi)切,所以
.
有橢圓的定義可知,曲線C是以,N為左.右焦點,長半軸長為2,短半軸長為 的橢圓(左定點除外),其方程為 .
(II)對于曲線C上任意一點 ,由于 ,所以R 2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為 ;
若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得 .
若l的傾斜角不為90°,則 知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q,
則 ,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l于圓相切得 ,
解得k=± .
當(dāng)k= 時,將y= x+ 代入 ,并整理得 ,
解得 .
當(dāng)k= .
綜上, .
34．（2015年高考陜西卷（文））已知動點(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(Ⅰ) 求動點的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 過點P(0,3)的直線與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線的斜率.
【答案】解: (Ⅰ) 點(x,y)到直線x=4的距離,是到點N(1,0)的距離的2倍,則
.
所以,動點的軌跡為 橢圓,方程為
(Ⅱ) P(0, 3), 設(shè)
橢圓 經(jīng)檢驗直線不經(jīng)過這2點,即直線斜率k存在. .聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:
所以,直線的斜率
35．（2015年高考大綱卷（文））已知雙曲線 離心率為 直線
(I)求 ;
(II) 證明: 成等比數(shù)列
【答案】(Ⅰ)由題設(shè)知 ,即 ,故 .
所以C的方程為 .
將y=2代入上式,求得, .
由題設(shè)知, ,解得, .
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,C的方程為 . ①
由題意可設(shè) 的方程為 , ,代入①并化簡得,
.
設(shè) , ,則
, , , .
于是
,
由 得, ,即 .
故 ,解得 ,從而 .
由于 ,
,
故 ,
.
因而 ,所以 、 、 成等比數(shù)列.
36．（2015年高考天津卷（文））設(shè)橢圓 的左焦點為F, 離心率為 , 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若 , 求k的值.
【答案】
37．（2015年高考遼寧卷（文））如圖,拋物線 ,點 在拋物線 上,過 作 的切線,切點為 ( 為原點 時, 重合于 ) ,切線 的斜率為 .
(I)求 的值;
(II)當(dāng) 在 上運動時,求線段 中點 的軌跡方程.
【答案】
38．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知圓P在x軸上截得線段長為2 ,在Y軸上截得線
段長為2 .
(Ⅰ)求圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)若P點到直線y=x的距離為 ,求圓P的方程.
【答案】
39．（2015年高考湖北卷（文））如圖,已知橢圓 與 的中心在坐標(biāo)原點 ,長軸均為 且在 軸上,短軸長分別
為 , ,過原點且不與 軸重合的直線 與 , 的四個交點按縱坐標(biāo)從
大到小依次為A,B,C,D.記 ,△ 和△ 的面積分別為 和 .
(Ⅰ)當(dāng)直線 與 軸重合時,若 ,求 的值;
(Ⅱ)當(dāng) 變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合 的直線l,使得 ?并說明理由.
2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷
【答案】依題意可設(shè)橢圓 和 的方程 分別為
: , : . 其中 ,
(Ⅰ)解法1:如圖1,若直線 與 軸重合,即直線 的方程為 ,則
, ,所以 .
在C1和C2的方程中分別令 ,可得 , , ,
于是 .
若 ,則 ,化簡得 . 由 ,可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時,若 ,則 .
解法2:如圖1,若直線 與 軸重合 ,則
, ;
, .
所以 .
若 ,則 ,化簡得 . 由 ,可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時,若 ,則 .
(Ⅱ)解法1:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 . 根據(jù)對稱性,
不妨設(shè)直線 : ,
點 , 到直線 的距離分別為 , ,則
因為 , ,所以 .
又 , ,所以 ,即 .
由對稱性可知 ,所以 ,
,于是
. ①
將 的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得
, .
根據(jù)對稱性可知 , ,于是
. ②
從而由①和②式可得
. ③
令 ,則由 ,可得 ,于是由③可解得 .
因為 ,所以 . 于是③式關(guān)于 有解,當(dāng)且僅當(dāng) ,
等價于 . 由 ,可解得 ,
即 ,由 ,解得 ,所以
當(dāng) 時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 ;
當(dāng) 時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .
解法2:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 . 根據(jù)對稱性,
不妨設(shè)直線 : ,
點 , 到直線 的距離分別為 , ,則
因為 , ,所以 .
又 , ,所以 .
因為 ,所以 .
由點 , 分別在C1,C2上,可得
, ,兩式相減可得 ,
依題意 ,所以 . 所以由上式解得 .
因為 ,所以由 ,可解得 .
從而 ,解得 ,所以
當(dāng) 時,不存在與坐標(biāo) 軸不重合的直線l,使得 ;
當(dāng) 時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .
40．（2015年高考重慶卷（文））(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問4分,(Ⅱ)小問8分)
如題(21)圖,橢圓的中心為原點 ,長軸在 軸上,離心率 ,過左焦點 作 軸的垂線交橢圓于 、 兩點, .
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)取平行于 軸的直線與橢圓相較于不同的兩點 、 ,過 、 作圓心為 的圓,使橢圓上的其余點均在圓 外.求 的面積 的最大值,并寫出對應(yīng)的圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】
41．（2015年高考湖南（文））已知 , 分別是橢圓 的左、右焦點 , 關(guān)于直線 的對稱點是圓 的一條直徑的兩個端點.
(Ⅰ)求圓 的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點 的直線 被橢圓 和圓 所截得的弦長分別為 , .當(dāng) 最大時,求直線 的方程.
【答案】解: (Ⅰ) 先求圓C關(guān)于直線x + y ? 2 = 0對稱的圓D,由題知圓D的直徑為 直線 對稱 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 (2,0), ,據(jù)題可設(shè)直線 方程為: x = y +2,∈R. 這時直線 可被 圓和橢圓截得2條弦,符合題意.
圓C: 到直線 的距離 .
由橢圓的焦半徑公式得:
.
所以當(dāng)
42．（2015年高考安徽（文））已知橢圓 的焦距為4,且過點 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè) 為橢圓 上一點,過點 作 軸的垂線,垂足為 .取點 ,連接 ,過點 作 的垂線交 軸于點 .點 是點 關(guān)于 軸的對稱點,作直線 ,問這樣作出的直線 是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由
【答案】解: (1)因為橢圓過點
且
橢圓C的方程是
(2)
由題意,各點的坐標(biāo)如上圖所示,
則 的直線方程:
化簡得
又 ,
所以 帶入
求得最后
所以直線 與橢圓只 有一個公共點.
43．（2015年高考江西卷（文））橢圓C: =1(a>b>0)的離心率 ,a+b=3
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意點,直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點,設(shè)BP的斜率為k,N的斜率為,證明2-k為定值.
【答案】解: 所以 再由a+b=3得a=2,b=1,
①
將①代入 ,解得
又直線AD的方程為 ②
①與②聯(lián)立解得
由 三點共線可角得
所以N的分斜率為= ,則 (定值)
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