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2018高三數(shù)學(xué)下冊期中試題(理科)

(考試時間120分鐘 滿分150分)

本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分

第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

(1)復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 ，集合 ，則

(A) (B) (C) (D)

(3)已知平面向量 ， 滿足 ， ，則 與 的夾角為

(A) (B) (C) (D)

(4)如圖，設(shè)區(qū)域 ，向區(qū)域 內(nèi)

隨機投一點，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點都是等可能的，則點落

入到陰影區(qū)域 的概率為

(A) (B)

(C) (D)

(5)在 中， ， ，則“ ”

是“ ”的

(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件

(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件

(6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為

(A) (B)

(C) (D)

(7)已知函數(shù) .下列命題：

①函數(shù) 的圖象關(guān)于原點對稱; ②函數(shù) 是周期函數(shù);

③當(dāng) 時,函數(shù) 取最大值;④函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是

(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④

(8)直線 與圓 交于不同的兩點 ， ，且 ，其中 是坐標(biāo)原點，則實數(shù) 的取值范圍是

(A) (B)

(C) (D)

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.

(9)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， ， ，則該數(shù)列的前4項和

為 .

(10)在極坐標(biāo)系中， 為曲線 上的點， 為曲線 上的點，則線段

長度的最小值是 .

(11)某三棱錐的三視圖如圖所示，則這個三棱錐的體積

為 ;表面積為 .

(12)雙曲線 的一個焦點到其漸近線的距離是 ，則 ;

此雙曲線的離心率為 .

(13)有標(biāo)號分別為1,2,3的紅色卡片3張，標(biāo)號分別為1,2,3的

藍(lán)色卡片3張，現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)

(如圖).若顏色相同的卡片在同一行，則不同的放法種數(shù)

為 .(用數(shù)字作答)

(14)如圖，在四棱錐 中， 底面 .底面 為梯形， ， ∥ , ， .若點 是線段 上的動點，則滿足 的點 的個數(shù)是 .

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

(15)(本小題滿分13分)

已知函數(shù) ， .

(Ⅰ)求 的值及函數(shù) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間.

(16)(本小題滿分13分)

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才.對 位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

一般 良好 優(yōu)秀

一般

良好

優(yōu)秀

例如，表中運動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有 人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這 位參加測試的學(xué)生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為 .

(I)求 ， 的值;

(II)從參加測試的 位學(xué)生中任意抽取 位，求其中至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思

維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率;

(III)從參加測試的 位學(xué)生中任意抽取 位，設(shè)運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)

生人數(shù)為 ，求隨機變量 的分布列及其數(shù)學(xué)期望 .

(17)(本小題滿分14分)

如圖，四棱錐 的底面為正方形，側(cè)面 底面 . 為等腰直角三角形，且 . ， 分別為底邊 和側(cè)棱 的中點.

(Ⅰ)求證： ∥平面 ;

(Ⅱ)求證： 平面 ;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

(18)(本小題滿分13分)

已知函數(shù) ， .

(Ⅰ)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù) 在區(qū)間 的最小值為 ，求 的值.

(19)(本小題滿分14分)

已知橢圓 經(jīng)過點 ，離心率為 .(Ⅰ)求橢圓 的方程;

(Ⅱ)直線 與橢圓 交于 兩點，點 是橢圓 的右頂點.直線 與直線 分別與 軸交于點 ，試問以線段 為直徑的圓是否過 軸上的定點?若是，求出定點坐標(biāo);若不是，說明理由.

(20)(本小題滿分13分)

從 中這 個數(shù)中取 ( ， )個數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個數(shù)記為 .

(Ⅰ)當(dāng) 時，寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及 的值;

(Ⅱ)求 ;

(Ⅲ)求證： .

北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)答案(理工類) 2018.3

一、選擇題

題號 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A B A B D C D

二、填空題

題號 9 10 11 12 13 14

答案

2

2

三、解答題

15. (本小題滿分13分)

解：

.

(Ⅰ) .

顯然，函數(shù) 的最小正周期為 . …………… 8分

(Ⅱ)令 得

， .

又因為 ，所以 .

函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間為 . …………… 13分

16. (本小題滿分13分)

解：(I)設(shè)事件 ：從 位學(xué)生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.

由題意可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有 人.

則 .

解得 .

所以 . …………… 4分

(II)設(shè)事件 ：從 人中任意抽取 人，至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.

由題意可知，至少有一項能力測試優(yōu)秀的學(xué)生共有 人.

則 . …………… 7分

(III) 的可能取值為 ， ， .

位學(xué)生中運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 人.

所以 ，

，

.

所以 的分布列為

0 1 2

所以， . …………… 13分

17. (本小題滿分14分)

(Ⅰ)證明：取 的中點 ，連接 ， .

因為 ， 分別是 ， 的中點，

所以 是△ 的中位線.

所以 ∥ ，且 .

又因為 是 的中點，且底面 為正方形，

所以 ，且 ∥ .

所以 ∥ ，且 .

所以四邊形 是平行四邊形.

所以 ∥ .

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . ……………4分

(Ⅱ)證明： 因為平面 平面 ，

，且平面 平面 ，

所以 平面 .

所以 ， .

又因為 為正方形，所以 ，

所以 兩兩垂直.

以點 為原點，分別以 為 軸，

建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

由題意易知 ，

設(shè) ，則

， ， ， ， , , .

因為 ， ， ，

且 ，

所以 ， .

又因為 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分

(Ⅲ)易得 ， .

設(shè)平面 的法向量為 ，則

所以 即

令 ，則 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，

所以 .

由圖可知，二面角 的大小為銳角，

所以二面角 的余弦值為 . ……………14分

18. (本小題滿分13分)

解：函數(shù) 的定義域是 ， .

(Ⅰ)(1)當(dāng) 時， ，故函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng) 時， 恒成立，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.

(3)當(dāng) 時，令 ，又因為 ，解得 .

①當(dāng) 時， ，所以函數(shù) 在 單調(diào)遞減.

②當(dāng) 時， ，所以函數(shù) 在 單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng) 時，函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ，

當(dāng) 時，函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ，單調(diào)增區(qū)間為 .…7分

(Ⅱ)(1)當(dāng) 時，由(Ⅰ)可知， 在 上單調(diào)遞減，

所以 的最小值為 ，解得 ，舍去.

(2)當(dāng) 時，由(Ⅰ)可知，

①當(dāng) ，即 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，

所以函數(shù) 的最小值為 ，解得 .

②當(dāng) ，即 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，

在 上單調(diào)遞增，所以函數(shù) 的最小值為 ，

解得 ，舍去.

③當(dāng) ，即 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，

所以函數(shù) 的最小值為 ，得 ，舍去.

綜上所述， . ……………13分

19. (本小題滿分14分)

解：(Ⅰ)由題意得 ，解得 ， .

所以橢圓 的方程是 . …………… 4分

(Ⅱ)以線段 為直徑的圓過 軸上的定點.

由 得 .

設(shè) ，則有 ， .

又因為點 是橢圓 的右頂點，所以點 .

由題意可知直線 的方程為 ，故點 .直線 的方程為 ，故點 .

若以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 ，則等價于 恒成立.

又因為 ， ，

所以 恒成立.

又因為

，

所以 .

解得 .

故以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 . …………… 14分

20. (本小題滿分13分)

解：(Ⅰ)符合要求的遞增等差數(shù)列為1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4個.

所以 . …………… 3分

(Ⅱ)設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項為 ，公差為 ， .

， ， 的可能取值為 .

對于給定的 ， ， 當(dāng) 分別取 時，可得遞增等差數(shù)列 個(如： 時， ，當(dāng) 分別取 時，可得遞增等差數(shù)列91個： ; ; ; ，其它同理).

所以當(dāng) 取 時，可得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)為：

.…………… 8分

(Ⅲ)設(shè)等差數(shù)列首項為 ，公差為 ，

記 的整數(shù)部分是 ，則 ，即 .

的可能取值為 ，

對于給定的 ， ，當(dāng) 分別取 時，可得遞增等差數(shù)列 個.

所以當(dāng) 取 時，得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)

易證 .

又因為 ， ，

所以 .

所以

.

即 . …………… 13分

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