江蘇省高三百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)Ⅰ參考公式：樣本數(shù)據(jù)，其中．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1．已知集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是 ▲ ．，集合的個(gè)數(shù)即的子集個(gè)數(shù)，共個(gè)．2. 已知，其中i為虛數(shù)單位，則 ▲ ．因?yàn)椋�所以，a＝1，b＝2，＝3．． 從中隨機(jī)取出個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為．【解析】本題考查古典概型．基本事件總數(shù)為6，符合要求的事件數(shù)為4，故所求概率為．4．滿足，則的夾角為 ▲ ．．【解析】本題考查平面向量的垂直和數(shù)量積的計(jì)算．因?yàn)�，所以，即�?，所以， ，即，則的夾角為．5. 設(shè)五個(gè)數(shù)值3137，33，，35的是34，則這組數(shù)據(jù)的方差是．【答案】4【解析】由，可得，所以方差，滿足，則的最大值是 ▲ ．【解析】本題考查線性規(guī)劃．可行域?yàn)槿�角形區(qū)域，最優(yōu)解為．7．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出S的值為 ▲ ．【答案】420【解析】本題考查流程圖和循環(huán)結(jié)構(gòu)．．8．已知直線、與平面、，，則下列命題中正確的是 ▲ （填寫正確命題對(duì)應(yīng)的序號(hào)）．①若，則 ②若，則③若，則 ④若，則【答案】③【解析】本題考查線面及面面位置關(guān)系的判斷．由面面垂直的判定定理可得答案為③．9．．【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和（差）的正弦、余弦．根據(jù)題意，，所以，故，，因此．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，且與直線x－y－＝0相切，則圓C的半徑為．解析：可設(shè)圓心為(2，b)，半徑r＝，則＝，解得b＝1．r＝．答案：1已知橢圓，、是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，，則橢圓的離心率為．11．【答案】【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．設(shè)，則，，可得，從而．12．若，且，則 的最大值是 ▲ ．【解析】由得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．13．為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，若成等比數(shù)列，且，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ▲ ．【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列．由題意，，，得，即，所以．又等比數(shù)列的公比為3，所以．根據(jù)可得．14．若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ ．【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想．解法一：由題意可知，可設(shè)，函數(shù)圖象(圖1)與直線沒有交點(diǎn)，則．解法二：如圖(2)，在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象．顯然當(dāng)直線與拋物線相切，所以當(dāng)時(shí)，沒有交點(diǎn)．故．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟15．（本小題滿分14分）在中，的對(duì)邊分別是，已知平面向量，，且．（）的值；（），求邊的值．15．【解析】（）由 …………………………2分得分 由于中，，分 ………………………………………………………6分（）由得7分即，9分得，，平方得12分所以為正三角形，………………………………………………… 14分16．（本小題滿分14分）如圖，四棱錐E－ABCD中，EA＝EB，ABCD，ABBC，AB＝2CD．求證：ABED；線段EA上是否存在點(diǎn)F，DF∥平面BCE？說明理由．證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)EO，DO.因?yàn)镋A＝EB，所以EOAB. …………………………1分因?yàn)锳BCD，AB＝2CD，所以BOCD，BO＝CD.又因?yàn)锳BBC，所以四邊形OBCD為矩形，所以ABDO. ……………………………………………4分因?yàn)镋O∩DO＝O，所以AB平面EOD.分又因?yàn)镋D平面EOD，所以ABED. ……………………………………………6分點(diǎn)F為EA中點(diǎn)時(shí)，有DF平面BCE.證明如下：取EB中點(diǎn)G，連結(jié)CG，F(xiàn)G.因?yàn)镕為EA中點(diǎn)，所以FGAB，F(xiàn)G＝AB.分因?yàn)锳BCD，CD＝AB，分所以FGCD，F(xiàn)G＝CD.10分所以四邊形CDFG是平行四邊形，11分所以DFCG. ……………………………………………12分因?yàn)镈F平面BCE，CG平面BCE，所以DF平面BCE.14分17．（本小題滿分14分）如圖，ABCD是邊長為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶△ECF，其中動(dòng)點(diǎn)E、分別CD、BC上的最值；（2）當(dāng)a=2時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即EAF）．17．解析：（1）設(shè)，則（※） 由基本不等式，……… 3分 所以，△ECF的面積……………… 5分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 故景觀帶面積的最值……………………………………… 6分（2）記，, 則 故 由（※）可得，，即………………… 10分代入上式可得，=1 所以 故當(dāng)時(shí)，視角為定值……………………………………………… 14分18．（本小題滿分16分）已知橢圓C右焦點(diǎn)，A、B橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且APB面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線AP與交于點(diǎn)D，以BD為PF相切．18．解析：（1）的方程為．由題意知解得． 故橢圓的方程為．……………………6分（2）的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．由得．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．所以，．………………………………………10分因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．…11分當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.所以直線的方程為． …………………………………………13分點(diǎn)到直線的距離．…………15分又因?yàn)?，所以．故以為直徑的圓與直線相切．綜上得，以為直徑的圓與直線相切． ………………………………………16分19．（本小題滿分16分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足等式.（1）數(shù)列的；（2）能否在數(shù)列中找到按原來順序成等差數(shù)列說明理由；，記函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為，設(shè)，求，并證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則. 又，所以，兩式相減得， 即 是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 所以 4分 假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為 則，即，所以，即，即 又，，所以 所以 假設(shè)不成立，所以不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列分與軸交點(diǎn)為 ，當(dāng)=0時(shí)有又， ………………………………14分………………………………16分20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)．若大值為，求實(shí)數(shù)的值；若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；時(shí)，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說明理由．：（1）由，得，，得或．變化時(shí)，及的變化如下表：-+-?極小值?極大值?所以的極大值為=，．4分（2）由，得．，即 恒成立，即……………………………………………6分，求導(dǎo)得，，當(dāng)時(shí)，，從而，在上為增函數(shù)，，．8分（3）由條件，，上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，只能在軸兩側(cè)，……9分，則，且．是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，， （*），等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．11分①若時(shí)，方程為，化簡得，此方程無解；…………………………………………………………………………………………12分②若時(shí)，方程為，即，設(shè)，則，顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，的值域?yàn)�，即，�?dāng)時(shí)，方程（*）．對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．分?jǐn)?shù)學(xué)Ⅱ（附加題）21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．．：幾何證明選講如圖，O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為O上一點(diǎn)，AE＝AC，求證：PDE＝POC.【解析】因AE＝AC，AB為直徑，故∠OAC＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAE＋∠OAC＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.10分B．：矩陣與變換已知矩陣A＝，向量β＝．求向量α，使得A2α＝β．【解析】∵A＝，∴A2＝＝．3分設(shè)α＝，則A2α＝β?＝?＝.…………8分解得∴α＝． 10分C．：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos．若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的．【解析】l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋，3分ρ＝2cos的直角坐標(biāo)方程為2＋2＝1，6分∴圓心到直線l的距離d＝，8分∴AB＝．10分D．：不等式選講若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．【解析】因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)] ≥(1＋1＋1)2，6分即＋＋≥1，8分當(dāng)且僅當(dāng)3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝時(shí)，原式取最小值1. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．甲乙丙三人商量周末，甲提議去，乙提議去，丙表示隨意．最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分乙得零分反面朝上則乙得一分甲得零分先得4分者獲勝三人均執(zhí)行勝者的提議記所需拋擲硬幣次數(shù)為X（1）求的概率；（2）求X的分布列和期望【解析】（1）（2）X4567P……………………………8分∴………………………………………………10分23．（本小題滿分10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點(diǎn)P在棱DF上．（1）若P是DF的中點(diǎn)， 求異面直線BE與CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度．23. 解析：（1）因?yàn)椤螧AF=90o，所以AF⊥AB， 因?yàn)?平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 所以AF⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角江蘇省高三百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（純word版）
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