浙江高考數(shù)學(xué)理科試卷(附答案和解釋)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


M

浙江卷數(shù)學(xué)(理)試題答案與解析

部分(共50分)
一、:每小題5分,共50分.
1.已知i是虛數(shù)單位,則(−1+i)(2−i)=
A.−3+iB.−1+3i C.−3+3i D.−1+i
【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于容易題
【答案解析】B
2.設(shè)集合S={xx>−2},T={xx2+3x−4≤0},則(RS)∪T=
A.(−2,1]B.(−∞,−4]C.(−∞,1]D.[1,+∞)
【命題意圖】本題考查集合的運(yùn)算,屬于容易題
【答案解析】C 因?yàn)?RS)={xx≤−2},T={x−4≤x≤1},所以(RS)∪T=(−∞,1].
3.已知x,y為正實(shí)數(shù),則
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy
C.2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy
【命題意圖】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于容易題
【答案解析】D 由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,易知選項(xiàng)D正確
4.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φR),則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=π2”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本題考查簡(jiǎn)易邏輯以及函數(shù)的奇偶性,屬于中檔題
【答案解析】B 由f(x)是奇函數(shù)可知f(0)=0,即cosφ=0,解出φ=π2+kπ,kZ,所以選項(xiàng)B正確
5.某程序框圖如圖所示,若該程序運(yùn)行后輸出的值是95,則
A.a(chǎn)=4B.a(chǎn)=5
C.a(chǎn)=6D.a(chǎn)=7
【命題意圖】本題考查算法程序框圖,屬于容易題
【答案解析】A
6.已知αR,sin α+2cos α=102,則tan2α=
A.43B.34
C.−34D.−43
【命題意圖】本題考查三角公式的應(yīng)用,解法多樣,屬于中檔題
【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104,進(jìn)一步整理可得3tan2α−8tan α−3=0,解得tan α=3或tan α=−13,于是tan2α=2tan α1−tan2α=−34.
7.設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=14AB,且對(duì)于AB上任一點(diǎn)P,恒有→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C,則
A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC
【命題意圖】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義,不等式恒成立的有關(guān)知識(shí),屬于中檔題
【答案解析】D 由題意,設(shè)→AB=4,則→P0B=1,過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為H,在AB上任取一點(diǎn)P,設(shè)HP0=a,則由數(shù)量積的幾何意義可得,→PB∙→PC=→PH→PB=(→PB −(a+1))→PB,→P0B∙→P0C=−→P0H→P0B=−a,于是→PB∙→PC≥→P0B∙→P0C恒成立,相當(dāng)于(→PB−(a+1))→PB≥−a恒成立,整理得→PB2−(a+1)→PB+a≥0恒成立,只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可,于是a=1,因此我們得到HB=2,即H是AB的中點(diǎn),故△ABC是等腰三角形,所以AC=BC
8.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1,2),則
A.當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極小值
B.當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極大值
C.當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極小值
D.當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極大值
【命題意圖】本題考查極值的概念,屬于中檔題
【答案解析】C 當(dāng)k=1時(shí),方程f(x)=0有兩個(gè)解,x1=0,x2=1,由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象,于是選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;當(dāng)k=2時(shí),方程f(x)=0有三個(gè)解,x1=0,x2=x3=1,其中1是二重根,由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象,易知選項(xiàng)C正確。
9.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率為
A.2 B.3
C.32 D.62
【命題意圖】本題考查橢圓和雙曲線的定義和幾何性質(zhì),屬于中檔題
【答案解析】D 由題意,c=3,AF2+AF1=4……①,AF2−AF1=2a……②,①+②得AF2=2+a,①−②得AF1=2−a,又AF12+AF22= F1F22,所以a=2,于是e=ca=62.
10.在空間中,過點(diǎn)A作平面π的垂線,垂足為B,記B=fπ(A).設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn)P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有 PQ1= PQ2,則
A.平面α與平面β垂直B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45
C.平面α與平面β平行D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60
【命題意圖】本題考查新定義問題的解決,重在知識(shí)的遷移,屬于較難題
【答案解析】A 用特殊法立即可知選項(xiàng)A正確
非選擇題部分(共100分)
二、題:每小題4分,共28分.
11.設(shè)二項(xiàng)式x−13x5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A,則A= .
【命題意圖】考查二項(xiàng)式定理,屬于容易題
【答案解析】−10
12.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的
體積等于 cm3.
【命題意圖】本題考查三視圖和體積計(jì)算,屬于容易題
【答案解析】24 由題意,該幾何體為一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)
三棱錐所得
13.設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y−2≥0,x−2y+4≥0,2x−y−4≤0.若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k= .
【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃,屬于容易題
【答案解析】2 作出平面區(qū)域即可
14.將A,B,C,D,E,F(xiàn)六個(gè)字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法有 種(用數(shù)字作答).
【命題意圖】本題考查排列組合,屬于中檔題
【答案解析】480 第一類,字母C排在左邊第一個(gè)位置,有A55種;第二類,字母C排在左邊第二個(gè)位置,有A24A33種;第三類,字母C排在左邊第三個(gè)位置,有A22A33+ A23A33種,由對(duì)稱性可知共有2( A55+ A24A33+ A22A33+ A23A33)=480種。
15.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F(−1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若FQ=2,則直線l的斜率等于 .
【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題
【答案解析】±1 設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),聯(lián)立y=k(x+1), y2=4x.消去y得k2x2+(2k2−4)x+k2=0,由韋達(dá)定理,xA+ xB =−2k2−4 k2,于是xQ=xA+ xB2=2k2−1,把xQ帶入y=k(x+1),得到y(tǒng)Q=2k,根據(jù)FQ=2k2−22+2k2=2,解出k=±1.
16.在△ABC,C=90,M是BC的中點(diǎn).若sinBAM=13,則sinBAC= .
【命題意圖】本題考查解三角形,屬于中檔題
【答案解析】63 設(shè)BC=2a,AC=b,則AM=a2+b2,AB=4a2+b2,sinABM= sinABC=ACAB=b 4a2+b2 ,在△ABM中,由正弦定理BMsinBAM=AMsinABM,即a13=a2+b2b 4a2+b2 ,解得2a2=b2,于是sinBAC=BCAB=2a 4a2+b2=63.
17.設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夾角為π6,則xb的最大值等于 .
【命題意圖】本題以向量為依托考查最值問題,屬于較難題
【答案解析】2 xb=x(xe1+ye2)2=xx2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx−3 22+14,所以xb的最大值為2
三、解答題:本大題共5小題,共72分.
18.(本小題滿分14分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列
(Ⅰ)求d,an;
(Ⅱ)若d<0,求a1+a2+a3+…+an.
【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)由題意
5a3 a1=(2a2+2)2,

d2−3d−4=0.

d=−1或d=4.
所以
an=−n+11,nN*或an=4n+6,nN*
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0,由(Ⅰ)得d=−1,an=−n+11.則
當(dāng)n11時(shí),
a1+a2+a3+…+an=Sn=−12n2+212n
當(dāng)n12時(shí),
a1+a2+a3+…+an=−Sn+2S11=12n2−212n+110
綜上所述,
a1+a2+a3+…+an=−12n2+212n, n11, 12n2−212n+110,n12.
19.(本題滿分14分)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分.
(Ⅰ)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任。ㄓ蟹呕,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;
(Ⅱ)從該袋子中任。壳蛉〉降臋C(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若 Eη=¬53,Dη=59,求a∶b∶c.
【命題意圖】本題考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差等概念,同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)。
【答案解析】
(Ⅰ)由題意得
ξ=2,3,4,5,6

P(ξ=2)=3366=14,
P(ξ=3)=23266=13,
P(ξ=4)=231+2266=518,
P(ξ=5)=22166=19,
P(ξ=6)=1166=136,
所以ξ的分布列為
ξ23456
P14
13
518
19
136

(Ⅱ)由題意知η的分布列為
η123
Paa+b+c
ba+b+c
ca+b+c

所以
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53
Dη=1−532aa+b+c+2−532ba+b+c+3−532ca+b+c=59
化簡(jiǎn)得
2a−b−4c=0,a+4b−11c=0
解得a=3c,b=2c,故
a∶b∶c=3∶2∶1
20.(本題滿分15分)如圖,在四面體A−BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(Ⅰ)證明:PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)若二面角C−BM−D的大小為60,求BDC的大小.
【命題意圖】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識(shí),空間向量的應(yīng)用,同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3FC,連接OP,OF,F(xiàn)Q.
因?yàn)锳Q=3QC,所以
QF∥AD,且QF=14AD
因?yàn)镺,P分別為BD,BM的中點(diǎn),所以O(shè)P是△BDM的中位線,所以
OP∥DM,且OP=12DM
又點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),所以
OP∥AD,且OP=14AD
從而
OP∥FQ,且OP=FQ
所以四邊形OPQF是平行四邊形,故
PQ∥OF
又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以
PQ∥平面BCD.
(Ⅱ)作CGBD于點(diǎn)G,作GHBM于點(diǎn)HG,連接CH,則CHBM,所以CHG為二面角的平面角。設(shè)BDC=θ.
在Rt△BCD中,
CD=BDcos θ=22cos θ,
CG=CDsin θ=22cos θsin θ,
BG=BCsin θ=22sin2θ
在Rt△BDM中,
HG=BGDMBM=22sin2θ3
在Rt△CHG中,
tanCHG=CGHG=3cos θsin θ=3
所以
tan =3
從而
=60
即BDC=60.
21.(本題滿分15分)如圖,點(diǎn)P(0,−1)是橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.
【命題意圖】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力
【答案解析】
(Ⅰ)由題意得
b=1,a=2.
所以橢圓C的方程為
x24+y2=1.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為
y=kx−1.
又圓C2:x2+y2=4,故點(diǎn)O到直線l1的距離
d=1k2+1 ,
所以
AB=24−d2=24k2+3k2+1 .
又l1l2,故直線l2的方程為
x+ky+k=0.

x+ky+k=0, x24+y2=1.
  消去y,整理得
(4+k2)x2+8kx=0

x0=−8k 4+k2.
所以
PD=8k2+14+k2.
設(shè)△ABD的面積為S,則
S=12ABPD=84k2+34+k2,
所以
S=324k2+3+134k2+33224k2+3  134k2+3=161313,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±102時(shí)取等號(hào)
所以所求直線l1的方程為
y=±102x−1
22.(本題滿分14分)已知aR,函數(shù)f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)x[0,2]時(shí),求f(x)的最大值.
【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力,分類討論等分析問題和解決問題的能力
【答案解析】
(Ⅰ)由題意f (x)=3x2−6x+3a,故f (1)=3a−3.又f(1)=1,所以所求的切線方程為
y=(3a−3)x−3a+4
(Ⅱ)由于f (x)=3(x−1)2+3(a−1),0x2.故
(?)當(dāng)a0時(shí),有f (x) 0,此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,故
f(x)max=max{f(0),f(2)}=3−3a
(?)當(dāng)a1時(shí),有f (x) 0,此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,故
f(x)max=max{f(0),f(2)}= 3a−1
(?)當(dāng)0<a<1時(shí),設(shè)x1=1−1−a,x2=1+1−a,則
0< x1< x2<2,f (x)=3(x− x1)(x− x2)
列表如下:
x0(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,2)2
f (x)+0−0+
f (x)3−3a單調(diào)遞增極大值f (x1)單調(diào)遞減極小值f (x2)單調(diào)遞增3a−1
由于
f(x1)=1+2(1−a)1−a,f(x2)=1−2(1−a)1−a,

f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)f(x2)=4(1−a)1−a>0
從而
f(x1)> f(x2).
所以
f(x)max=max{f(0),f(2),f(x1)}
(1)當(dāng)0<a<23時(shí),f(0)>f(2).

f(x1)− f(0)=2(1−a)1−a−(2−3a)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+2−3a>0

f(x)max= f(x1)=1+2(1−a)1−a.
(2)當(dāng)23a<1時(shí),f(2)=f(2),且f(2)f(0).

f(x1)− f(2)=2(1−a)1−a−( 3a −2)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+ 3a −2
所以
①當(dāng)23a<34時(shí),f(x1)> f(2).故
f(x)max= f(x1)=1+2(1−a)1−a.
②當(dāng)34a<1時(shí),f(x1)  f(2).故
f(x)max= f(2)= 3a−1.
綜上所述,
f(x)max=3−3a, a0,1+2(1−a)1−a, 0<a<34,3a−1, a34.


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