北京市西城區(qū)2015 — 2015學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高二數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．圓的半徑為 ( )A.B. C. D. 2．雙曲線的實軸長為 ( )A. B. C. D. 3．若，，且，則 ( )A. B. C. D. 4．命題“,”的否定為，B. ， C. ，D. ， 5． “”是“方程表示圓”的 ( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：因為若則當(dāng)時方程不能表示一個圓.所以充分性不成立；當(dāng)方程表示圓時，即.即有成立.所以必要性成立.綜上“”是“方程表示圓”的必要不從分條件.故選B.考點：1.圓的方程.2.充分必要條件.6．關(guān)于直線以及平面,下列命題中正確的是 ( )A. 若，，則B. 若，，則 C. 若，且，則D. 若，，則7．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點， ，則 ( ) A. B. C. D. 8．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積等于 （ ）A. B. C. D. 9．已知平面內(nèi)兩個定點，過動點作直線的垂線，垂足為.若，則動點的軌跡是（ ）A. 圓B. 拋物線C. 橢圓D. 雙曲線10. 已知正方體，點，，分別是，和上的動點，與，與．給出下列結(jié)論： ①對于任意給定的點，存在點，使得； ②對于任意給定的點，存在點，使得； ③對于任意給定的點，存在點，使得； ④對于任意給定的點，存在點，使得．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.11. 已知拋物線的準線為，則其標準方程為_______.12. 命題“，則題的離心率為_______；漸近線方程為_______.14. 一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體的表面積之比為_______.15. 如圖，長方體中，是邊長為的正方形，與平面所成的角為，則棱的長為_______；二面角的大小為_______.16. 已知為橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，為坐標原點.給出下列結(jié)論：存在點，使得為等邊三角形；不存在點，使得為等邊三角形；③存在點，使得；④不存在點，使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是__________.以①正確；若存在點，使得，同樣設(shè)，代入橢圓方程可得，解得.所以 .所以不存在點.所以④正確.故填①④.考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系.2.利用方程的思想解決問題.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別是、中點. （）平面； （）.18. （本小題滿分13分）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】試題分析：（Ⅰ）本題求圓的方程，已知圓上兩點即圓心的縱坐標，所以需要求出圓的半徑和圓心的橫坐標兩個值即可確定圓的方程，通過列解方程即可求出相應(yīng)的量，該題的半徑的長剛好就是圓心的橫坐標的值，這個條件要用上.19. （本小題滿分13分）如圖，在直三棱柱中，，，是中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）（）（）（Ⅱ）解：由（）是平面的法向量， ， 則 . 設(shè)直線與平面所成的角為， 則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 考點：1.線面垂直.2.線面所成的角.3.空間直角坐標系的解決線面問題.20. （本小題滿分14分）如圖所示，四邊形為直角梯形，，，為等邊三角形，且平面平面，，為中點．（Ⅰ）；（Ⅱ）與平面所成的銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在內(nèi)是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在，說明理由． （Ⅲ）用待定系數(shù)的方法，假設(shè)存在該點Q，要滿足平面，只需要向量PQ，與平面內(nèi)任一兩條直線所對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可，從而求出點Q的坐標即線段PQ的長.（Ⅱ）平面，，所以平面，所以 . 如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系. 則 ，，，，. 所以 ,， 設(shè)平面的法向量為，則 ， 令，則,.所以. 同理求得平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則. 所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. 21. （本小題滿分13分）已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.（Ⅰ）若線段中點的橫坐標等于，求直線的斜率；（Ⅱ）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點.【答案】（）（）（）（）（）的方程，利用點差法將點A,B的坐標帶入拋物線方程.即可求出直線過定點，要做點是否存在的判定.試題解析：（Ⅰ）設(shè)過點的直線方程為，由 得. 因為 ，且，所以，. 設(shè)，，則，. 因為線段中點的橫坐標等于，所以， 解得，符合題意. 22. （本小題滿分14分）已知為橢圓上的三個點，為坐標原點.（Ⅰ）若所在的直線方程為，求的長；（Ⅱ）設(shè)為線段上一點，且，當(dāng)中點恰為點時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長.一般是通過聯(lián)立兩方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據(jù)兩點的距離公式求出弦長.（）的關(guān)系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結(jié)論.試題解析：（） 得，解得或， 所以兩點的坐標為和所以. 所以，的面積. 綜上，面積為常數(shù). 考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系.2.弦長公式.3.點到直線的距離公式.4.向量的知識.5.整體的解題思想.6.過定點的問題. 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價值的北京市西城區(qū)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末考試試題（數(shù)學(xué) 理）
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