2013年12月南山中學2015級12月模擬考試（理科）數(shù)學試題題卷命題：周莉莎 審題：羅偉考生注意：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分120分，考試時間100分鐘.選擇題用2B鉛筆填涂，其余題用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答.第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題（本大題有10個小題，每個小題給出的四個選項中只有一個正確，請把正確選項涂在機讀卡上.每小題選正確得4分，共40分.）1.直線的傾斜角為（�。〢． B． C． D．2.（�。〢． B．C．D．3.《幾何原本》的作者是（�。〢.歐幾里得 B.阿基米德 C.阿波羅尼奧斯 D.托勒玫4.將點的直角坐標(－2，2)化是正值，極角在0到之間的極坐標是（�。〢．(4，)B．(4，)C．(4，)D．(4，)5. 已知，則方程表示的平面圖形是（ ）6．如果執(zhí)行圖1的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（�。�. B. C. D. 7.圓在點處的切線方程為（�。〢． B． C． D．過點作直線與雙曲線交于AB兩點,使點P為AB中點,則這樣的直線（�。〢．存在一條,且方程為B．存在無數(shù)條C．存在兩條,方程為D．不存在上到直線的距離為的點共（�。〢． B．C．D．10.下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點，設圖①、②、③的雙曲線的離心率分別為e1，e2，e3，則（�。� A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2 II卷（共80分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.）11.在空間直角坐標系中，點與點的距離是 .12.經(jīng)過點,且與兩坐標軸的截距相等的直線方程是 . (用一般式方程表示)13某同學在四次語文單元測試中，其成績的莖葉圖如圖所示，則該同學語文成績的方差 .( 第13題圖) (第14題圖)14. 如上圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為 .15.給出下列結(jié)論：①與圓及圓都外切的圓的圓心在一個橢圓上.②若直線與雙曲線則.③經(jīng)過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且,則.④拋物線上的點到直線的距離的最小值為.其中正確結(jié)論的序號是 .三、解答題（本大題共4個小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.(10分) 在直角坐標系中，以坐標原點為圓心的圓與直線：相切求圓的方程；若圓上有兩點關于直線對稱，且，求直線的方程.17.（10分） 某校從高二年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的單元測試數(shù)學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若該校高二年級共有學生640人，試估計該校高二年級本次單元測試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；若從數(shù)學成績在和兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率.18.（10分）如圖：已知直線與拋物線交兩點，且，交于點，點的坐標為.求的值；求的面積.19.（10分）已知圓,坐標原點為.圓上任意一點在軸上的射影為點，已知向量.求動點的軌跡的方程；當時，過點S (0，－)的動直線l交于A，B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得為直徑的圓恒過點?若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．附加題：20.在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程；(2)已知點A(1，t)(t>0)是軌跡M上的定點，E，F(xiàn)是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率kAE與直線AF的斜率kAF滿足kAE＋kAF＝0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．,當?shù)娜≈底兓瘯r，關于的方程的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線形成了一個直線系，記集合{僅有唯一直線}.(1)求中點的軌跡方程；(2)設{為常數(shù)}，任取,如果的最小值為，求的值.南山中學2015級12月模擬考試 數(shù)學(理)答題卷 題號二1617181920 21總分分數(shù)二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分．把答案填在題中橫線上．1． ．12． ．1． ．14． ．15． ．三、解答題：本大題共小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．得 分評卷人 16．（本題滿分分）得 分評卷人 1．（本題滿分分）得 分評卷人 ．（本題滿分分）得 分評卷人 ．（本題滿分分）得 分評卷人．（ 本題滿分1分）得 分評卷人 ．（本題滿分分）一、選擇題（本大題有10個小題，每個小題給出的四個選項中只有一個正確，請把正確選項涂在機讀卡上.每小題選正確得4分，共40分.）1~5：CDAAD; 6~10：BBDBC二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.）11.； 12.或； 13. 45； 14. ； 15.②④三、解答題（本大題共4個小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.解（1）直線與圓相切 == 的方程為：……………………………………………………….…(4分)（2）關于直線對稱 可設所在的直線方程為：…………………………………………….(5分)到的距離為1………………………………………………………………………….(7分)即直線的方程為：…………………........…(10分)17.解:由頻率分布直方圖已知（1）不低于60分的學生所占的頻率為：不低于60分人數(shù)為：6400.85=544（人）………………………………………………...(2分)（2）第一組的學生人數(shù)為：0.0540=2（人），記為……………………………...(3分)第六組的學生人數(shù)為：0.140=4（人），記為………………………..…..(4分)則從這兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2人所包含的基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,共15種.設“這兩名學生數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件事件所包含的的基本事件有：,,,,,,共7種.…………………………………………………………………………………….…….(10分)18.解（1） 又 直線的方程為.………………………………………………………………….…(1分)設,,則由…………………….…(2分)又聯(lián)立方程 消可得 ①, ………………………………………………………….……….…(3分)當時，方程①成為 顯然此方程有解. ……… ….…(5分)(2)法一:由 .………....…(7分).…………………………………………………………………………………………...…(8分) ………………………………….......….…(10分)法二:后面做法同法一.19.解（1）設,, 又在圓上軌跡的方程為即…………………………….………………………(4分)（2）當時，軌跡的方程為（?）當與軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為當與軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為由解得即兩圓相切于點(0,1)，……………………..……………(6分)因此，所求的點T如果存在，只能是(0,1)．事實上，點T(0,1)就是所求的點，證明如下：當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(0,1)．若直線l不垂直于x軸，可設直線l的方程為y＝kx－，由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0. 設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又因為＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以?＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝(1＋k2)?－k?＋＝0，所以TATB，即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1)，在坐標平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.…………………………………………………(10分)20.解 (1)依題意知直線A1N1的方程為：y＝(x＋2)，直線A2N2的方程為：y＝－(x－2)，設Q(x，y)是直線A1N1與A2N2交點，×②得y2＝－(x2－4)，由mn＝3，整理得＋＝1，N1，N2不與原點重合，點A1(－2,0)，A2(2,0)不在軌跡M上，軌跡M的方程為＋＝1(x≠±2)，…………………………………………………………………(3分)(2)∵點A(1，t)(t>0)在軌跡M上，＋＝1解得t＝，即點A的坐標為，設kAE＝k，則直線AE方程為：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，點A在軌跡M上，xE＝，yE＝kxE＋－k，又kAE＋kAF＝0得kAF＝－k，將、式中的k代換成－k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，直線EF的斜率kEF＝＝，xE＋xF＝，xF－xE＝，kEF＝＝＝，即直線EF的斜率為定值，其值為.…………………………………………………………..………(10分)21.解(1)由題意易知，僅有唯一解所求的軌跡方程為.……………………………………………………..……………(3分)（2）設直線與軌跡相切，則由 消可得 即的最小值為.……………………………………………………………....…………………(10分)！第1頁 共13頁學優(yōu)高考網(wǎng)��！南山中學2015級12月模擬考試（理科）數(shù)學試題參考答案及評分細則（僅供參考） 班級 姓名 考號 — — — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — —封— — — — — — — — — —線— — — — — — — — — — — — 一 11 412 6 813 2四川省綿陽南山中學2013-2014學年高二上學期12月月考試題 數(shù)學（理）
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