四川省廣安市2013年中考數學試卷
一、：每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意要求，請將符合要求的選項的代號填涂在機讀卡上（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）（2013?廣安）4的算術平方根是（ ）
A．±2B． C．2D．?2
考點：算術平方根．
分析：根據算術平方根的定義即可得出答案．
解答：解：4的算術平方根是2，
故選C．
點評：本題主要考查了算術平方根，注意算術平方根與平方根的區(qū)別．
2．（3分）（2013?廣安）未來三年，國家將投入8450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問題．將8450億元用科學記數法表示為（ ）
A．0.845×104億元B．8.45×103億元C．8.45×104億元D．84.5×102億元
考點：科學記數法―表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：解：將8450億元用科學記數法表示為8.45×103億元．
故選B．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．（3分）（2013?廣安）下列運算正確的是（ �。�
A．a2?a4=a8B．2a2+a2=3a4C．a6÷a2=a3D．（ab2）3=a3b6
考點：同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：分別利用合并同類項法則、同底數冪的除法、同底數冪的、積的乘方法則分的判斷得出即可．
解答：解：A、a2?a4=a6，故此選項錯誤；
B、2a2+a2=3a2，故此選項錯誤；
C、a6÷a2=a4，故此選項錯誤；
D、（ab2）3=a3b6，故此選項正確．
故選：D．
點評：本題考查了合并同類項法則、同底數冪的除法、同底數冪的乘法、積的乘方，解題的關鍵是掌握相關運算的法則．
4．（3分）（2013?廣安）有五個相同的小正方體堆成的物體如圖所示，它的主視圖是（ ）
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．
解答：解：從正面看易得第一層有3個正方形，第二層最左邊有一個正方形．
故選B．
點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
5．（3分）（2013?廣安）數據21、12、18、16、20、21的眾數和中位數分別是（ �。�
A．21和19B．21和17C．20和19D．20和18
考點：眾數；中位數．
分析：根據眾數和中位數的定義求解即可．
解答：解：在這一組數據中21是出現次數最多的，故眾數是21；
數據按從小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位數是（18+20）÷2=19，故中位數為19．
故選A．
點評：本題考查了中位數，眾數的意義．找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數．如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求；如果是偶數個，則找中間兩位數的平均數．眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個．
6．（3分）（2013?廣安）如果 a3xby與?a2ybx+1是同類項，則（ �。�
A． B． C． D．
考點：解二元一次方程組；同類項．
專題：
分析：根據同類項的定義列出方程組，然后利用代入消元法求解即可．
解答：解：∵ a3xby與?a2ybx+1是同類項，
∴ ，
②代入①得，3x=2（x+1），
解得x=2，
把x=2代入②得，y=2+1=3，
所以，方程組的解是 ．
故選D．
點評：本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數的系數較小時可用代入法，當未知數的系數相等或互為相反數時用加減消元法較簡單，根據同類項的“兩同”列出方程組是解題的關鍵．
7．（3分）（2013?廣安）等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為13，則它的周長為（ ）
A．25B．25或32C．32D．19
考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系．
分析：因為已知長度為6和13兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．
解答：解：①當6為底時，其它兩邊都為13，
6、13、13可以構成三角形，
周長為32；
②當6為腰時，
其它兩邊為6和13，
∵6+6＜13，
∴不能構成三角形，故舍去，
∴答案只有32．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
8．（3分）（2013?廣安）下列命題中正確的是（ �。�
A．函數y= 的自變量x的取值范圍是x＞3
B．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
C．一組對邊平行，另一組對邊相等四邊形是平行四邊形
D．三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等
考點：命題與定理．
分析：根據菱形、等腰梯形的性質以及外心的性質和二次根式的性質分別判斷得出即可．
解答：解：A、函數y= 的自變量x的取值范圍是x≥3，故此選項錯誤；
B、菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、一組對邊平行，另一組對邊相等四邊形是也可能是等腰梯形，故此選項錯誤；
D、根據外心的性質，三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，故此選項正確．
故選：D．
點評：此題主要考查了菱形、等腰梯形的性質以及外心的性質和二次根式的性質，熟練掌握相關定理和性質是解題關鍵．
9．（3分）（2013?廣安）如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8cm，CD=3cm，則圓O的半徑為（ ）
A． cmB．5cmC．4cmD． cm
考點：垂徑定理；勾股定理．
分析：連接AO，根據垂徑定理可知AC= AB=4cm，設半徑為x，則OC=x?3，根據勾股定理即可求得x的值．
解答：解：連接AO，
∵半徑OD與弦AB互相垂直，
∴AC= AB=4cm，
設半徑為x，則OC=x?3，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
即x2=42+（x?3）2，
解得：x= ，
故半徑為 cm．
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理、勾股定理的內容，難度一般．
10．（3分）（2013?廣安）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1．下列結論：
①abc＞O，②2a+b=O，③b2?4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正確的是（ �。�
A．①③B．只有②C．②④D．③④
考點：二次函數圖象與系數的關系．
分析：由拋物線開口向下，得到a小于0，再由對稱軸在y軸右側，得到a與b異號，可得出b大于0，又拋物線與y軸交于正半軸，得到c大于0，可得出abc小于0，選項①錯誤；由拋物線與x軸有2個交點，得到根的判別式b2?4ac大于0，選項②錯誤；由x=?2時對應的函數值小于0，將x=?2代入拋物線解析式可得出4a?2b+c小于0，最后由對稱軸為直線x=1，利用對稱軸公式得到b=?2a，得到選項④正確，即可得到正確結論的序號．
解答：解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，
∵? ＞0，∴b＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，
∴abc＜0，①錯誤；
∵對稱軸為直線x=1，∴? =1，即2a+b=0，②正確，
∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2?4ac＞0，③錯誤；
∵對稱軸為直線x=1，
∴x=2與x=0時的函數值相等，而x=0時對應的函數值為正數，
∴4a+2b+c＞0，④正確；
則其中正確的有②④．
故選C．
點評：此題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數，決定了b2?4ac的符號，此外還要注意x=1，?1，2及?2對應函數值的正負來判斷其式子的正確與否．
二、題：請將最簡答案直接填寫在題目后的橫線上（本大題共6個小題，每小題3分．共18分）
11．（3分）（2013?廣安）方程x2?3x+2=0的根是 1或2 ．
考點：解一元二次方程-因式分解法．
專題：因式分解．
分析：由題已知的方程進行因式分解，將原式化為兩式相乘的形式，再根據兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0，求出方程的解．
解答：解：因式分解得，（x?1）（x?2）=0，
解得x1=1，x2=2．
點評：本題考查了因式分解法解一元二次方程，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
12．（3分）（2013?廣安）將點A（?1，2）沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個長度單位后得到點A′的坐標為 （2，?2）�。�
考點：坐標與圖形變化-平移．
分析：根據點的平移規(guī)律，左右移，橫坐標減加，縱坐標不變；上下移，縱坐標加減，橫坐標不變即可解的答案．
解答：解：∵點A（?1，2）沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個長度單位后得到點A′，
∴A′的坐標是（?1+3，2?4），
即：（2，?2）．
故答案為：（2，?2）．
點評：此題主要考查了點的平移規(guī)律，正確掌握規(guī)律是解題的關鍵．
13．（3分）（2013?廣安）如圖，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，則∠4= 63°30′ ．
考點：平行線的判定與性質．
分析：根據∠1=∠2可以判定a∥b，再根據平行線的性質可得∠3=∠5，再根據鄰補角互補可得答案．
解答：解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴a∥b，
∴∠3=∠5=116°30′，
∴∠4=180°?116°30′=63°30′，
故答案為：63°30′．
點評：此題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．
14．（3分）（2013?廣安）解方程： ?1= ，則方程的解是 x=? ．
考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：4x?x+2=?3，
解得：x=? ，
經檢驗是分式方程的解．
故答案為：x=?
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
15．（3分）（2013?廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去 圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高是 3 cm．
考點：圓錐的計算．
分析：因為圓錐的高，底面半徑，母線構成直角三角形，則留下的扇形的弧長= =8π，所以圓錐的底面半徑r= =4cm，利用勾股定理求圓錐的高即可；
解答：解：∵從半徑為5cm的圓形紙片上剪去 圓周的一個扇形，
∴留下的扇形的弧長= =8π，
根據底面圓的周長等于扇形弧長，
∴圓錐的底面半徑r= =4cm，
∴圓錐的高為 =3cm
故答案為：3．
點評：此題主要考查了主要考查了圓錐的性質，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構成直角三角形，（2）此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解此類題目要根據所構成的直角三角形的勾股定理作為等量關系求解．
16．（3分）（2013?廣安）已知直線y= x+ （n為正整數）與坐標軸圍成的三角形的面積為Sn，則S1+S2+S3+…+S2014= �。�
考點：一次函數圖象上點的坐標特征．
專題：規(guī)律型．
分析：令x=0，y=0分別求出與y軸、x軸的交點，然后利用三角形面積公式列式表示出Sn，再利用拆項法整理求解即可．
解答：解：令x=0，則y= ，
令y=0，則? x+ =0，
解得x= ，
所以，Sn= ? ? = （ ? ），
所以，S1+S2+S3+…+S2014= （ ? + ? + ? +…+ ? ）= （ ? ）= ．
故答案為： ．
點評：本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，表示出Sn，再利用拆項法寫成兩個數的差是解題的關鍵，也是本題的難點．
三、解答題（本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17．（6分）（2013?廣安）計算：（ ）?1+1? ? ?2sin60°．
考點：實數的運算；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．
分析：分別進行負整數指數冪、絕對值、開立方、特殊角的三角函數值等運算，然后按照實數的運算法則計算即可．
解答：解：原式=2+ ?1+2?2× =3．
點評：本題考查了實數的運算，涉及了負整數指數冪、絕對值、開立方、特殊角的三角函數值等知識，屬于基礎題．
18．（6分）（2013?廣安）先化簡，再求值：（ ? ）÷ ，其中x=4．
考點：分式的化簡求值．
分析：先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
解答：解：原式=（ ? ）÷
= ×
=? ，
當x=4時，原式=? =? ．
點評：本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．
19．（6分）（2013?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：△ABE≌△CDF．
考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定．
專題：證明題．
分析：首先證明四邊形AECF是平行四邊形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根據由三對邊相等的兩個三角形全等即可證明：△ABE≌△CDF．
解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF，AF=CF，
∴BE=DE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
點評：此題主要考查學生對平行四邊形的判定與性質和全等三角形的判定的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題．
20．（6分）（2013?廣安）已知反比例函數y= （k≠0）和一次函數y=x?6．
（1）若一次函數與反比例函數的圖象交于點P（2，m），求m和k的值．
（2）當k滿足什么條件時，兩函數的圖象沒有交點？
考點：反比例函數與一次函數的交點問題．
分析：（1）兩個函數交點的坐標滿足這兩個函數關系式，因此將交點的坐標分別代入反比例函數關系式和一次函數關系式即可求得待定的系數；
（2）函數的圖象沒有交點，即無解，用二次函數根的判別式可解．
解答：解：（1）∵一次函數和反比例函數的圖象交于點（2，m），
∴m=2?6，
解得m=?4，
即點P（2，?4），
則k=2×（?4）=?8．
∴m=?4，k=?8；
（2）由聯立方程y= （k≠0）和一次函數y=x?6，
有 =x?6，即x2?6x?k=0．
∵要使兩函數的圖象沒有交點，須使方程x2?6x?k=0無解．
∴△=（?6）2?4×（?k）=36+4k＜0，
解得k＜?9．
∴當k＜?9時，兩函數的圖象沒有交點．
點評：本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，注意先代入一次函數解析式，求得兩個函數的交點坐標．
四、實踐應用：（本大題共4個小題，其中第21小題6分，地22、23、24小題各8分，共30分）
21．（6分）（2013?廣安）6月5日是“世界環(huán)境日”，廣安市某校舉行了“潔美家園”的演講比賽，賽后整理參賽同學的成績，將學生的成績分成A、B、C、D四個等級，并制成了如下的條形統(tǒng)計圖和扇形圖（如圖1、圖2）．
（1）補全條形統(tǒng)計圖．
（2）學校決定從本次比賽中獲得A和B的學生中各選出一名去參加市中學生環(huán)保演講比賽．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，請你用“列表法”或“樹形圖法”的方法求出所選兩位同學恰好是一名男生和一名女生的概率．
考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖；列表法與樹狀圖法．
專題：計算題
分析：（1）根據等級為A的人數除以所占的百分比求出總人數，進而求出等級B的人數，補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）列表得出所有等可能的情況數，找出一男一女的情況數，即可求出所求的概率．
解答：
解：（1）根據題意得：3÷15%=20（人），
故等級B的人數為20?（3+8+4）=5（人），
補全統(tǒng)計圖，如圖所示；
（2）列表如下：
男男女女女
男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）
男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）
女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）（女，女）
所有等可能的結果有15種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有8種，
則P恰好是一名男生和一名女生= ．
點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，以及列表法與樹狀圖法，弄清題意是解本題的關鍵．
22．（8分）（2013?廣安）某商場籌集資金12.8萬元，一次性購進空調、彩電共30臺．根據市場需要，這些空調、彩電可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于1.5萬元，其中空調、彩電的進價和售價見表格．
空調彩電
進價（元/臺）54003500
售價（元/臺）61003900
設商場計劃購進空調x臺，空調和彩電全部銷售后商場獲得的利潤為y元．
（1）試寫出y與x的函數關系式；
（2）商場有哪幾種進貨方案可供選擇？
（3）選擇哪種進貨方案，商場獲利最大？最大利潤是多少元？
考點：一次函數的應用．
分析：（1）y=（空調售價?空調進價）x+（彩電售價?彩電進價）×（30?x）；
（2）根據用于一次性購進空調、彩電共30臺，總資金為12.8萬元，全部銷售后利潤不少于1.5萬元．得到一元一次不等式組，求出滿足題意的x的正整數值即可；
（3）利用y與x的函數關系式y(tǒng)=150x+6000的增減性來選擇哪種方案獲利最大，并求此時的最大利潤即可．
解答：解：（1）設商場計劃購進空調x臺，則計劃購進彩電（30?x）臺，由題意，得
y=（6100?5400）x+（3900?3500）（30?x）=300x+12000；
（2）依題意，有 ，
解得10≤x≤12 ．
∵x為整數，
∴x=10，11，12．
即商場有三種方案可供選擇：
方案1：購空調10臺，購彩電20臺；
方案2：購空調11臺，購彩電19臺；
方案3：購空調12臺，購彩電18臺；
（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，
∴y隨x的增大而增大，
即當x=12時，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．
故選擇方案3：購空調12臺，購彩電18臺時，商場獲利最大，最大利潤是15600元．
點評：本題主要考查了一次函數和一元一次不等式組的實際應用，難度適中，得出商場獲得的利潤y與購進空調x的函數關系式是解題的關鍵．在解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．
23．（8分）（2013?廣安）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現渠江邊一處長400米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固．經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF的長；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
專題：．
分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出FG的長，同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH?AH求出AF的長．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．
解答：解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四邊形EGHD是矩形，
∴ED=GH，
在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），
在Rt△FGE中，i=1：2= ，
∴FG=2EG=16（米），
∴AF=FG+GH?AH=16+2?8=10（米）；
（2）加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長= ×（2+10）×8×400=19200（立方米）．
答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為10米；（2）完成這項工程需要土石19200立方米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造直角三角形，利用三角函數表示相關線段的長度，難度一般．
24．（8分）（2013?廣安）雅安蘆山發(fā)生7.0級地震后，某校師生準備了一些等腰直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個半圓制作玩具，寄給災區(qū)的小朋友．已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，請作出所有不同方案的示意圖，并求出相應半圓的半徑（結果保留根號）．
考點：作圖―應用與設計作圖．
專題：作圖題．
分析：分直徑在直角邊AC、BC上和在斜邊AB上三種情況分別求出半圓的半徑，然后作出圖形即可．
解答：解：根據勾股定理，斜邊AB= =4 ，
①如圖1、圖2，直徑在直角邊BC或AC上時，
∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴ = ，
解得r=4 ?4，
②如圖3，直徑在斜邊AB上時，∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴ = ，
解得r=2，
作出圖形如圖所示：
點評：本題考查了應用與設計作圖，主要利用了直線與圓相切，相似三角形對應邊成比例的性質，分別求出半圓的半徑是解題的關鍵．
五、理論與論證（9分）
25．（9分）（2013?廣安）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙0的切線．
（2）如果⊙0的半徑為5，sin∠ADE= ，求BF的長．
考點：切線的判定；等腰三角形的性質；圓周角定理；解直角三角形．
分析：（1）連結OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE= ，然后由OD∥AE，
得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．
解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，
∴AE= ，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴ = ，即 = ，
∴BF= ．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質、圓周角定理和解直角三角形．
六、拓展探究（10分）
26．（9分）（2013?廣安）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（?3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．
①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）
考點：二次函數綜合題．
專題：代數幾何綜合題．
分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）①根據點A、B的坐標求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯立消掉y，得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標；
②先確定出拋物線的對稱軸，然后（i）分點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，根據同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=PQ，設點P的橫坐標為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計算即可得解；（ii）點N在對稱軸上時，同理求出△APF和△ANQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=AQ，根據點A的坐標求出點P的縱坐標，再代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（?3，0），B（0，3），C（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，拋物線的解析式為y=?x2?2x+3；
（2）①∵A（?3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°?45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長越大，
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯立 ，
消掉y得，x2+3x+m?3=0，
當△=32?4×1×（m?3）=0，
即m= 時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，
此時x=? ，y=? + = ，
∴點P（? ， ）時，△PDE的周長最大；
②拋物線y=?x2?2x+3的對稱軸為直線x=? =?1，
（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，
在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
設點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ=?1?n，
即PF=?1?n，
∴點P的坐標為（n，?1?n），
∵點P在拋物線y=?x2?2x+3上，
∴?n2?2n+3=?1?n，
整理得，n2+n?4=0，
解得n1= （舍去），n2= ，
?1?n=?1? = ，
所以，點P的坐標為（ ， ）；
（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
設點P坐標為P（x，?x2?2x+3），
則有?x2?2x+3=?1?（?3）=2，
解得x= ?1（不合題意，舍去）或x=? ?1，
此時點P坐標為（? ?1，2）．
綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（ ， ），當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（? ?1，2）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，拋物線上點的坐標特征，（2）確定出△PDE是等腰直角三角形，從而判斷出點P為平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時的位置是解題的關鍵，（3）根據全等三角形的性質用點P的橫坐標表示出縱坐標或用縱坐標求出橫坐標是解題的關鍵．
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