13、（2013• 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．
其中正確的序號是　①②④�。ò涯阏J為正確的都填上）．

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數(shù)量關系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC?BE=CD?DF，
∴CE=CF，
∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
設正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
a2+（a? ）2=4，
解得a= ，
則a2=2+ ，
S正方形ABCD=2+ ，
④說法正確，
故答案為①②④．

點評：本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．

14、（2013•黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=　 　．

考點：等邊三角形的性質；等腰三角形的判定與性質．3481324
分析：根據等腰三角形和三角形外角性質求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD為中線，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中線，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD= = ，
即DE=BD= ，
故答案為： ．
點評：本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識點的應用，關鍵是求出DE=BD和求出BD的長．

15、（2013•黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度．

考點：等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質．
分析：根據等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．
解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案為：15．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質，難度適中．

16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于 軸，一頂點在 軸上．從內到外，它們的邊長依次為 ，頂點依次用 表示，其中 與 軸、底邊 與 、 與 、 均相距一個單位，則頂點 的坐標是 ， 的坐標是 ．
解析：考查正三角形的相關知識及找規(guī)律的能力。由圖知， 的縱坐標為：
， ，而 的橫坐標為： ，由題意知， 的縱坐標為 ， ，容易發(fā)現(xiàn) 、 、 、 、 、 這些點在第四象限，橫縱坐標互為相反數(shù)， 、 、 、 、 、 的下標2、5、7、 、92、 有規(guī)律： ， 是第31個正三角形（從里往外）的右端點，

17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（?2，0），等邊三角形AOC經過平移或軸對稱或旋轉都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點O順時針旋轉得到△DOB，則旋轉角度可以是 度；
（2）連結AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．

考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移的性質．
專題：．
分析：（1）由點A的坐標為（?2，0），根據平移的性質得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關于y軸對稱；根據等邊三角形的性質得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據旋轉的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB；
（2）根據旋轉的性質得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE為等腰△AOD的頂角的平分線，根據等腰三角形的性質得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（?2，0），
∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；
∴△AOC與△BOD關于y軸對稱；
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB．
（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案為2；y軸；120．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質以及平移的性質．　
18、（2013•湖州）如圖，已知P是⊙O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．
（1）求BC的長；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

考點：切線的判定；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理．
分析：（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．
解答：（1）解：連接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，
∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=2；

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵點B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．

點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．
19、（2013•萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；
（2）當AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據三角函數(shù)可推出AC= 或AB=2AC．
解答：（1）證明：連結CE．
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD．
在△ADE與△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或AB=2AC．
∴當AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．

點評：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握直角三角形的性質，以及等邊三角形的性質．
20、（2013•衢州）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結A，以A為邊作等邊△AN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結A，以A為邊作等腰△AN，使頂角∠AN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：（1）利用SAS可證明△BA≌△CAN，繼而得出結論；
（2）也可以通過證明△BA≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠AN，從而判定△ABC∽△AN，得到 = ，根據∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，得到∠BA=∠CAN，從而判定△BA∽△CAN，得出結論．
解答：（1）證明：∵△ABC、△AN是等邊三角形，

∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，

∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（2）解：結論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AN是等邊三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，

∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，頂角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，
∴△ABC∽△AN，
∴ = ，
又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，
∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/173661.html

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