一、目標導航
1.相似三角形對應高的比,對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比;
2.相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.
二、基礎過關(guān)
1.若兩個相似多邊形面積比為 ,則它們的周長比是 .
2.若△ABC∽△A B C ,AB=4,BC=5,AC=6,△A B C 的最大邊長為15,那么它們的相似比是________,△A B C 的周長是________.
3.兩個相似三角形對應角平分線之比為1:4.則它們的周長比為 ,面積比為 .
4.若DE為△ABC的中位線,且DE//BC,則△ADE與△ABC的面積比為 .
5.兩個相似三角形的相似比為2∶3,它們周長的差是25,那么較大三角形的周長
是________.
6.如圖,在□ABCD中,延長AB到E,使BE= AB,延長CD到F,使DF=DC,EF交BC于G,交AD于H,則△BEG與△CFG的面積之比是________.
7.把一個三角形改做成和它相似的三角形,如果面積縮小到原來的 倍,那么邊長應縮小到原來的________倍.
8.如果兩個相似三角形的面積比為9:25,而第一個三角形的周長為36,那么第二個三角形周長是 .
三、能力提升
9.把一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點連線EF對折,要使矩形AEFB與原矩形相似,則原矩形長與寬的比為( )
A.2∶1 B. ∶1C. ∶1D.4∶1
10.在△ABC中,D、E分別是邊AB、AC的中點,△ADE和四邊形BCED的面積分別記為S1、S2,那么 的值為( )
A. B. C. D.
11.在Rt△ABC中,AD為斜邊BC上的高,若S =3S ,則AB∶AC等于( )
A.1∶3B.1∶4 C.1∶ D.1∶2
12.順次連結(jié)三角形三邊的中點,所成的三角形與原三角形對應高的比是( )
A.1∶4B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
13.如圖,DF//EG//BC,AD=DE=EB,則面積比S :S :S 等于( )
A.1:1:2 B.1:3:5 C.1:2:3 D.1:4:9
14.如圖,若∠C=90 ,AD=DB,ED⊥AB,AB=20,AC=12,則四邊形ADEC的面積為( )
A.75 B.58.5 C.48 D.37
15.在梯形ABCD中,AB//CD,若DB,AC交于點O,且△DCO的面積與△DCB的面積比為1:3,則△CDO與△ABO的面積比等于( )
A.1:9 B.1:7 C.1:4 D.1:5
16.如圖,BE//CD,AB:BC=2:3,則 =( )
A.2:3 B.4:15 C.4:21 D.4:17
17.如圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,其中BC=12 cm,高AD=8 cm,現(xiàn)在要把它裁剪成一個正方形備用,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB、AC上,問這個正方形的邊長是多少?
18.如圖,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,已知△ADE和△EFC的面積分別是4cm 和9cm ,求△ABC的面積.
19.正方形ABCD中,E是AC上一點,EF⊥AB,EG⊥AD,AB =6,AE:EC = 2:1.求四邊形AFEG的面積.
20.如圖,□ABCD中,M為BC中點,AN=3MN,BN的延長線交AC于E,交CD于F.⑴求AE:EC的值;⑵當S =9時,求S .
21.如圖, △ABC中,AB=4,D在AB邊上移動(不與A,B重合),DE//BC交AC于E,連結(jié)CD,設 , .⑴當D為AB中點時,求 的值;
⑵若AD= , ,求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
四、聚沙成塔
22.如圖,梯形ABCD中,AD//BC,CE平分∠BCD,且CE⊥AB于E, , =14cm .求四邊形ADCE的面積.
23.△ABC中,AB=AC=10,BC=12,動點D在邊AB上,DE⊥AB,點E在BC上,點F在邊AC上,且∠DEF=∠B,當點D在AB上運動時,⑴ 可能等于 的二倍嗎?若可能,請求出BD的長;若不可能,請說明理由.⑵ 可能等于 的四倍嗎?若可能,請求出BD的長;若不可能,請說明理由.
24.在Rt△ABC中, ∠C=90 ,AC=3,BC=4,點E在直角邊AC上(點E與A,C兩點均不重合),點F在斜邊AB上(點F與A,B均不重合).⑴若EF平分Rt△ABC周長,設AE的長為 ,試用含 的代數(shù)式表示△AEF的面積;⑵是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分?若存在,求出此時AE的長;若不存在,說明理由.
25.如圖,在△ABC中,DE//BC,在AB上取一點F,使 .
求證:AD =AB?BF.
26.某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元,在一塊上、下底分別為10米,20米的梯形空地上種植花木如圖①,⑴他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花,單價為8元/?,當△AMD地帶種滿花后(圖中陰影部分)共花了160元,請計算種滿△BMC地帶所需費用.⑵若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉兩種花木可供選擇,單價分別為12元/?和10元/?,應選擇哪種花木,剛好用完所籌集的資金.⑶若梯形ABCD為等腰梯形,面積不變(如圖②)請你設計一種花壇圖案,即在梯形內(nèi)找到一點P,使得△APB≌△DPC,且S =S ,并說明你的理由.
27.將正方形ABCD折疊,使頂點A與CD邊上的點M重合,折線交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC交于點G,⑴如果M為CD的中點,求證:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.⑵如果M為CD上任一點,設AB=2a,問△CMG的周長是否與點M的位置有關(guān)?若有關(guān),請把△CMG的周長用含DM的長x(即DM=x)的代數(shù)式表示;若無關(guān),請說明理由.
28.如圖,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P點在AC上(與A、C不重合),Q在BC上.
⑴當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時,求CP的長.
⑵當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時,求CP的長.
⑶試問:在AB上是否存在一點M,使得△PQM為等腰直角三角形,若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出PQ的長.
29.已知,如圖,在△ABC中,D是BC的中點,且AD=AC,DE⊥BC交AB于點E,EC與AD相交于點F.⑴求證:△ABC∽△FCD;⑵若S =5,BC=10,求DE的長.
30.如圖,已知,在△ABC中,BA=BC=20?,AC=30?,點P從A點出發(fā),沿AB以4?/s的速度向點B運動;同時點Q從C點出發(fā),沿CA以3?/s的速度向A點運動,設運動時間為x,
⑴當x為何值時,PQ∥BC;
⑵當 =1:3時,求 的值;
⑶△APQ能否與△CQB相似,若能,求出AP的長,若不能,請說明理由.
31.如圖,△ABC中,D為AC上一點,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,連結(jié)AE.
⑴寫出圖中所有相等的線段,并加以說明;
⑵圖中有無相似三角形,若有,請寫出一對,若沒有,請說明理由;
⑶求△BEC與△BEA的面積之比.
4.8相似多邊形的性質(zhì)
1.2:3;2.2:5,37.5;3.1:4,1:16;4.1:4;5.75;6.1:16;7. ;8.60;9.C;10.C;11.C;12.D;13.B;14.B;15.C;16.B;17.4.8cm;18.25;19.16;20.⑴提示:延長AD,BF交于G.AE:EC=3:2.⑵4.
21.⑴S :S=1:4.⑵ (0< <4).22.提示:延長BA,CD交于點F.面積= .23. ⑴可能,此時BD= .⑵不可能,當S 的面積最大時,兩面積之比= <4.
24.⑴S = .⑵存在.AE= .
25.略.
26. ⑴640元.⑵選種茉莉花.⑶略.
27. ⑴利用勾股定理問題即可解決.⑵答:無關(guān).利用△MCG∽△MDE的周長比等于相似比可求得△MCG的面積=4 .
28. ⑴CP=2 .⑵CP= .⑶分兩種情況①PQ= ,②PQ= .
29.提示:作△ABC的高AG. ⑴略.⑵DE= .
30. ⑴ = s.⑵2:9.⑶AP= 或20.
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