第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理
專題一 有關(guān)勾股定理的折疊問題
1. 如圖，將邊長為8c的正方形ABCD折疊，
使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，
折痕為N，則線段CN長是（　�。�
A．3cB．4c
C．5cD．6c

2. 如圖，EF是正方形兩對邊中點的連線段，將∠A沿DK折疊，使它的頂點A落在EF上的G點，求∠DKG的度數(shù)．
3． 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點、N．
（1）如圖①，當(dāng)A=BN時，將△AC沿C折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將△BCN沿CN折疊，點B也恰好落在點P處，此時，P=A，PN=BN，△PN的形狀是_______________．線段A、BN、N之間的數(shù)量關(guān)系是______________________________；
（2）如圖②，當(dāng)扇形CEF繞點C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，線段N、A、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_______________．試證明你的猜想；
（3）當(dāng)扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時，線段N、A、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_______________．（不要求證明）

① ② ③

專題二 勾股定理的證明
4．在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用四個完全相同的直角三角形拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性．

問題1：以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，探究S′+ S″與S的關(guān)系（如圖1）．
問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，探究S′+S″與S的關(guān)系（如圖2）．
問題3：以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，探究S′+ S″與S的關(guān)系（如圖3）．

5. 如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個，圖① 中兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c；圖②中兩直角邊長為c．請你動腦，將它們拼成能夠證明勾股定理的圖形．
（1）請你畫出一種圖形，并驗證勾股定理．
（2）你非常聰明，能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的圖形（無需證明）．

答案：
1．A 【解析】設(shè)CN=x c，則DN=（8-x）c. 由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8-x）c，
而EC= BC=4 c，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．故選A．
2．解：∵DF= CD= DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，
∴∠EKG=∠DGF=30°．∵2∠DKG+∠GKE=180°，∴∠DKG=75°．
3．解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△CA≌△CP，△CNB≌△CNP．∴A=P，∠A=∠CP，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠PN=∠A+∠B=90°，P=PN=A=BN.
故△PN是等腰直角三角形，A2+BN2=N2（或A=BN= N）．
（2）A2+BN2=N2.
證明:如圖,將△AC沿C折疊，得△DC，連DN，
則△AC≌△DC，∴CD=CA，D=A，∠DC=∠AC.
同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，
而∠DC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠DN=90°，
∴D2+DN2=N2，故A2+BN2=N2．
（3）A2+BN2=N2；解法同（2）．
4．解：探究1：由等邊三角形的性質(zhì)知：S′= a2，S″= b2，S= c2，
則S′+ S″= （a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
探究2：由等腰直角三角形的性質(zhì)知：S′= a2，S″= b2，S= c2．
則S′+S″= （a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
探究3：由圓的面積計算公式知：S′= πa2，S″= πb2，S= πc2．
則S′+ S″= π（a2+b2），因為a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
5．解：（1）如圖所示，
根據(jù)正方形的面積可得（a+b）2=4× ab+c2，
即a2+b2=c2．

（2）如圖所示．

1.2一定是直角三角形嗎
專題 判斷三角形形狀
1. 已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則它的形狀為（　�。�
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2. 在△ABC中，a=2+n2，b=2-n2，c=2n，且＞n＞0，
（1）你能判斷△ABC的最長邊嗎？請說明理由；
（2）△ABC是什么三角形，請通過計算的方法說明．

3. 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：
n2345…
a22-132-142-152-1…
b46810…
c22+132+142+152+1…
（1） 請你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n （n＞1）的代數(shù)式表示a，b，c．
（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想．

答案：
1．D 【解析】 ∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，
即它是等腰三角形或直角三角形．
故選D．
2．解：（1）a是最長邊，其理由是：
∵a-b=（2+n2）-（2-n2）=2n2＞0，
a-c=（2+n2）-2n=（-n）2＞0，
∴a＞b，a＞c，
∴a是最長邊.
（2）△ABC是直角三角形，其理由是：
∵b2+c2=（2-n2）2+（2n）2=（2+n2）2=a2，
∴△ABC是直角三角形．
3．解：（1）由圖表可以得出：
∵n=2時，a=22-1，b=2×2，c=22+1；
n=3時，a=32-1，b=2×3，c=32+1；
n=4時，a=42-1，b=2×4，c=42+1.
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形.
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

1.3勾股定理的應(yīng)用
專題 最短路徑的探究
1. 編制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱
表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的A1C1B1，A2C2B2，…，則
每一根這樣的竹條的長度最少是______________.
2. 請下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑和高均為5d，BC是底面
直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.
小明設(shè)計了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC.如下圖（2）所示：

設(shè)路線1的長度為 ，則 ；
路線2：高線AB + 底面直徑BC，如上圖（1）所示，
設(shè)路線2的長度為 ，
則 .
.
∴ ∴
所以要選擇路線2較短。
（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的
底面半徑為1d，高AB為5d”繼續(xù)按前面的方式進行計算.
請你幫小明完成下面的計算：
路線1： ___________________；
路線2： __________ ,
∵ , ∴ ( 填>或<).
所以應(yīng)選擇路線____________(填1或2)較短.
(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短.

3. 探究活動:有一圓柱形食品盒，它的高等于8c，底面直徑為 c，螞蟻爬行的速度為2c/s.
（1）如果在盒內(nèi)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中部點B處的食物，那么它至少需要多少時間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計，結(jié)果可含根號）

（2）如果在盒外下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中部點B處的食物，那么它至少需要多少時間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計）

答案：
1. 【解析】 底面周長為a、高為b的圓柱的側(cè)面展開圖為矩形,它的邊長分別為a,b，所以對角線長為 ，所以每一根這樣的竹條的長度最少是 .
2.解：（1）25+π2 49 ＜ ＜ 1
（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h].
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
當(dāng)r= 時，l12=l22；
當(dāng)r＞ 時，l12＞l22；
當(dāng)r＜ 時，l12＜l22．
3.解：（1）如圖，AC=π• ÷2=9c，BC=4c，則螞蟻走過的最短路徑為：AB= = c，所以 ÷2= （s），即至少需要 s．

（2）如圖，作B關(guān)于EF的對稱點D，連接AD，交EF于點P，連接BP，則
螞蟻走的最短路程是AP+PB=AD，由圖可知，AC=9c，CD=8+4=12（c）．
所以AD= =15（c），15÷2=7.5（s）
即至少需要7.5s．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/209031.html

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