高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

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對(duì)稱問(wèn)題:


(l)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn),因此中心對(duì)稱的問(wèn)題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問(wèn)題.
設(shè),對(duì)稱中心為A(a,b),則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為
(2)點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問(wèn)題
由軸對(duì)稱定義知,對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組,就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下:
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為,則有
特殊地,點(diǎn)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為;點(diǎn)關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為
(3)曲線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱、曲線關(guān)于直線的軸對(duì)稱問(wèn)題,一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱(這里既可選特殊點(diǎn),也可選任意點(diǎn)).一般結(jié)論如下:
①曲線f(x,y)=0關(guān)于已知點(diǎn)A(a,b)的對(duì)稱曲線的方程是f(2a-x,2b-y)=0
②曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線的求法:
設(shè)曲線f(x,y)=0上任意一點(diǎn)為,P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x,y),則由(2)知,P
利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱的曲線方程。



幾種特殊位置的對(duì)稱:





對(duì)稱問(wèn)題需要注意:

(1)點(diǎn)Ax0,y0)關(guān)于直線x+y+c=0對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-y0-c,-x0-c),關(guān)于直線x-y+c=0對(duì)稱點(diǎn)A′′的坐標(biāo)為(y0-c,x0+c)。
(2)曲線f(x,y)=0關(guān)于直線x+y+c=0的對(duì)稱曲線的方程為f-y-c,-x-c=0,關(guān)于直線x-y+c=0的對(duì)稱曲線的方程為f(y-c,x+c)=0
以上這種方法用來(lái)解填空題、選擇題特別有效,應(yīng)加以理解與記憶,其規(guī)律是當(dāng)對(duì)稱軸所在直線方程斜率為1或一1時(shí),將A(x0,y0)中的x0代入對(duì)稱軸方程x的位置,解出的y是對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo),將A點(diǎn)縱坐標(biāo)的y0代入對(duì)稱軸方程y的位置,解出的x是對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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