均值不等式 < style='width:141.75pt; > 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立）是一個(gè)重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問(wèn)題。對(duì)于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形。
一、配湊
1. 湊系數(shù)
例1. 當(dāng)< style='width:46.5pt;'> 時(shí)，求 的最大值。
解析：由< style='width:46.5pt;'> 知， ，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到 為定值，故只需將
當(dāng)且僅當(dāng) ，即x＝2時(shí)取等號(hào)。
所以當(dāng)x＝2時(shí)， 的最大值。
解析：由題意知 ，首先要調(diào)整符號(hào)，又 不是定值，故需對(duì) 進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值。
∵
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。
評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。
3. 分離
例3. 求 的值域。
解析：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。
當(dāng) ，即 時(shí)
，即 時(shí)
的值域?yàn)?。
評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通�；� ，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。
二、整體代換
例4. 已知 ，求 的最小值。
解法1：不妨將 乘以1，而1用a＋2b代換。
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，由
即 時(shí)， 的最小值為 。
解法2：將 分子中的1用
評(píng)注：本題巧妙運(yùn)用“1”的代換，得到 與 的積為定值，即可用均值不等式求得 的最小值。
三、換元
例5. 求函數(shù) ，則 時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 。
評(píng)注：本題通過(guò)換元法使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化，而且將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問(wèn)題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。
四、取平方
例6. 求函數(shù) 的和為定值。
又
當(dāng)且僅當(dāng) 。
評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。
總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。
［練一練］
1. 若 的最大值。
2. 求函數(shù) 的最小值。
3. 求函數(shù) 的最小值。
4. 已知 ，且 ，求 的最小值。
參考答案：1. 2. 5 3. 8 4.
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