《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）必修課程·數(shù)學2包括立體幾何初步、平面解析幾何初步兩部分。從標題上看，是傳統(tǒng)內(nèi)容。但從數(shù)學2的前言、內(nèi)容與要求、說明與建議三部分看，數(shù)學2的教學內(nèi)容、處理方式、教學要求都發(fā)生了很大的變化，特別是立體幾何初步的內(nèi)容，解析幾何的內(nèi)容更多強調(diào)解析幾何的思想方法。
從內(nèi)容與要求上來看，本模塊相對獨立，而且起點較低，完全可以在義務教育階段的基礎上進行學習。
在《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學2(必修)》A版編寫中，我們對如何更好地理解《標準》，如何更好地貫徹《標準》提出的內(nèi)容和要求、說明與建議，進行了積極的思考。下面做一簡單的介紹。
一、對數(shù)學2主要內(nèi)容的思考
數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學。本模塊的內(nèi)容主要屬于“空間形式”范疇，是幾何學的研究對象。幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數(shù)學學科。
形狀 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖都是從形的角度研究現(xiàn)實世界中的物體。柱、錐、臺、球及其簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征都是運用實物模型、計算機軟件從形的角度，由大量的物體抽象出來的，是現(xiàn)實世界物體的形狀模型。認識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征后，我們可以運用這些模型描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。這一過程反映了從幾何角度進行數(shù)學建模的過程，即從實物到模型，再由模型到實物。對有關形狀內(nèi)容的安排，是從對空間幾何體的整體觀察入手，通過直觀感知、操作確認，使學生對圖形有個整體認識，培養(yǎng)其空間觀念。在對空間幾何體有整體認識的基礎上，研究構(gòu)成空間幾何體的點、直線、平面等要素，按照整體到局部，具體到抽象的原則。
大小 幾何體在空間都會占有空間的一部分。它的大小在一維空間中表現(xiàn)為長度，在二維空間中表現(xiàn)為面積，在三維空間中表現(xiàn)為體積。本模塊研究幾何體的大小，主要是根據(jù)公式，計算球、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺的表面積和體積。
位置關系 在立體幾何初步的內(nèi)容中，位置關系主要包括直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系。對于上述位置關系，要充分借助長方體這個模型，由長方體這個直觀模型認識立體幾何中上述三方面的位置關系。在位置關系中平行、垂直是研究的重點，包括直線與平面平行、平面與平面平行；直線與平面垂直、平面與平面垂直。建立直角坐標系后，平面中的點可以用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，空間中的點可以用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）表示。這樣，平面或空間中任意兩點的距離無需通過測量，由這兩點的坐標就可以得到。把直線、圓放入平面直角坐標系中，直線、圓可以得到量化，分別用二元一次方程和二元二次方程表示。這樣直線與直線的平行、垂直以及相交等位置關系，就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量之間的關系。用直線的方程研究兩條直線之間的位置關系，包括平行、垂直、交點坐標以及點到直線的距離、兩條平行線間的距離等等；同樣，可以運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等等。
從人類認識空間形式和數(shù)量關系的角度看，對空間形式的認識要先于數(shù)量關系，空間形式直觀、具體，是視覺思維；數(shù)量關系理性、抽象，是精確思維。通過數(shù)量關系可以深化對空間形式的認識，空間形式可以對數(shù)量關系以形象支持，兩者相輔相成。
二、對認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法的思考
《標準》中明確提出，認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法是：直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算，這是非常經(jīng)典的概括。實際上，這四種方式是一個有機的整體，循序漸進，不同的知識內(nèi)容要求的方式和方法不盡相同。
本模塊的內(nèi)容中“空間幾何體”主要是通過直觀感知、操作確認的方式讓學生認識人類生存的現(xiàn)實空間，通過空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力。在“點、直線、平面之間的位置關系”中，借助長方體模型，通過直觀感知、操作確認先認識它們之間的位置關系，歸納關于平面、平行的一些公理以及直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，進而對直線與平面平行、平面與平面平行以及直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理進行思辯論證，并且運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題，培養(yǎng)學生的推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。
解析幾何初步的內(nèi)容中，主要是培養(yǎng)學生用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，使用度量計算的方法。這部分的教學，通過直角坐標系這個橋梁，首先將幾何問題，比如點、直線、圓以及直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，直線與直線的交點坐標、直線與圓的坐標等代數(shù)化，用代數(shù)語言描述上述幾何要素及其關系，把直線與在直線、直線與圓的位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量之間的關系；處理數(shù)量關系；分析數(shù)量關系的幾何含義，最終確定直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系。幫助學生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。
我們經(jīng)常說，行萬里路，讀萬卷書。這說明認識世界的兩種方式：感性認識和理性認識。具體到數(shù)學學科中，觀察和推理是學習數(shù)學的兩種手段。由觀察（實踐）歸納出一些事實（如公理），在此基礎上，從這些事實出發(fā)，運用邏輯推理的方法，推導、證明一些新的事實。在立體幾何初步的內(nèi)容中，我們采用了觀察和推理兩種方式。通過直觀感知、操作確認、思辯論證，認識和把握點、直線、平面之間的位置關系。而當把直線和圓放到直角坐標系中后，它們可以用方程表示，通過代數(shù)運算，由運算結(jié)果判斷直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系。
三、對立體幾何初步體系結(jié)構(gòu)的思考
與以往立體幾何的結(jié)構(gòu)體系相比，本模塊立體幾何的體系結(jié)構(gòu)有重大改革。以往立體幾何內(nèi)容，常從研究構(gòu)成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質(zhì)，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則。現(xiàn)在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。
這種安排遵循人類認識世界的過程，也符合學生的認知特點。它有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣。
整體和局部是一個有機的整體。沒有對整體的把握，也無從認識局部；同樣，如果沒有對局部更細致的認識，我們也無法更好地把握整體。因此，在學習完“點、直線、平面之間的位置關系”后，可引導學生從點、直線、平面的角度重新認識空間幾何體，從本質(zhì)上把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征有更全面的認識。
四、對幾何直觀以及幾何推理的思考
立體幾何學習的知識內(nèi)容與學生的聯(lián)系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實世界中的許多物體。它們直觀、具體，對培養(yǎng)學生的幾何直觀能力有很大的幫助�？臻g幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的直觀載體。學習時，一方面要引導學生從生活實際出發(fā)，把學習的知識與周圍的實物聯(lián)系起來，另一方面，要引導學生經(jīng)歷從現(xiàn)實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。比如，在有關直線與平面、平面與平面平行與垂直判定定理的教學中，要注重引導學生通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定定理；在直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)定理的教學中，同樣不能忽視學生從實際問題出發(fā)，進行探究的過程。要引導學生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理以及演繹推理，探索直線與平面、平面與平面平行與垂直等性質(zhì)定理及其證明。在此基礎上，進一步運用已經(jīng)能夠獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題。
立體幾何在構(gòu)建直觀、形象的數(shù)學模型方面有其獨特作用。圖形的直觀，不僅為學生感受、理解抽象的概念提供有力的支撐，而且有助于培養(yǎng)學生合情推理和演繹推理的能力。
幾何的現(xiàn)實性與論理性是幾何的兩個方面。歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣，很久以來幾何學就成為訓練邏輯推理的素材，用主觀的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性的認識。從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非幾何所獨有，它廣泛存在于數(shù)學的各個分支中。近幾十年的國際數(shù)學教育改革對幾何推理的要求發(fā)生了一些變化，適當弱化演繹推理，更多地強調(diào)從具體情境或前提出發(fā)，進行合情推理；從單純強調(diào)幾何的邏輯推理，轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，特別是幾何在發(fā)展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。本模塊立體幾何初步特別注意，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系，在推理過程中滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精神。
五、對解析幾何基本思想方法的思考
解析幾何的基本思想是“坐標法”。當我們用方程表示直線和圓，運用方程研究直線與直線、圓與圓的位置關系，研究兩條直線的交點、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離等問題時，都需要把幾何問題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數(shù)運算解決有關問題。
我們在教科書編寫時，結(jié)合大量的例題，突出用坐標方法解決幾何問題的“三步曲”：
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。
解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想。對于幾何中的直線，我們既從一次函數(shù)的角度研究它，又從方程的角度研究它，用數(shù)及其運算作為工具，函數(shù)與方程對直線進行了定量化描述，使對直線的研究由定性進入到定量。平面直角坐標系成為溝通平面幾何、函數(shù)、解析幾何的紐帶，對同一個問題可以從不同的角度去認識。
在此需要特別說明的是，函數(shù)與曲線以及曲線與方程的關系。對一個圓，它是曲線，我們即可以從函數(shù)（分段函數(shù)）的角度研究它，也可以從方程的角度研究它。但是兩者之間是有區(qū)別的，從函數(shù)的角度看，函數(shù)體現(xiàn)更多的是一種數(shù)量關系，曲線只不過是它的一個直觀支持；從方程的角度看，它是從曲線的幾何特征出發(fā)，確定它的代數(shù)關系（即方程），用方程研究曲線，即解析幾何的思想方法。它們雖然都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，但是數(shù)形結(jié)合的不同側(cè)面。
六、對數(shù)學2教學要求的思考
與以往的立體幾何教學要求相比，本模塊在幾何推理證明方面的教學要求大大降低了，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數(shù)量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧。對于直線與平面、平面與平面的平行和垂直的判定定理只要求通過直觀感知、操作確認的方式歸納得出，不進行推理證明。在削弱證明的同時，加強了空間觀念的培養(yǎng)。重視對空間圖形的整體認識和把握，從看實物到想圖形、再從三視圖想象空間圖形；然后從空間圖形的整體，到直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，強調(diào)發(fā)展學生的空間想象能力，以及聯(lián)系實際運用幾何知識，觀察和解決現(xiàn)實世界中有關圖形的問題。
在解析幾何初步的內(nèi)容中，注意結(jié)合具體的圖形：直線和圓，引導學生探索在平面上確定這些圖形的幾何要素，推導出它們的代數(shù)方程，進而運用方程研究它們在平面上的位置以及相互關系，體會用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。教學中要注意控制難度，避免進行綜合性強、難度較大的數(shù)學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結(jié)論都可以用坐標法來加以證明，而義務教育階段的教學要求現(xiàn)已有所改變。因此，用坐標法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。
七、對前后銜接的思考
由于2004年、2005年使用高中課標教材的絕大多數(shù)學生在義務教育階段沒有使用義務教育課程標準實驗教科書，造成部分知識內(nèi)容不銜接。在數(shù)學2中，比較突出的是視圖和投影的內(nèi)容。在編寫教科書時，應充分考慮到這種實際情況，在投影和視圖方面，應該適當補充《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》“空間與圖形”中的視圖與投影內(nèi)容，它包括：（1）會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌�；�?）了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型；（3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系，通過典型實例，知道這種關系在現(xiàn)實生活中的應用（如物體的包裝）；（4）通過實例了解中心投影和平行投影。
立體幾何初步的內(nèi)容與選修2-1中“空間向量與立體幾何”內(nèi)容的銜接，在立體幾何初步中不要求證明的三個判定定理在“空間向量與立體幾何” 中可用向量方法進行嚴格證明。解析幾何初步的內(nèi)容也能自然延伸到選修1-1和選修2-1的“圓錐曲線與方程”中。
八、對運用現(xiàn)代信息技術的思考
在數(shù)學2中，現(xiàn)代信息技術的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
�。�1）通過現(xiàn)代信息技術，如計算機、網(wǎng)絡等展示豐富的圖片，讓學生感受大量的實物，抽象出空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征。
�。�2）運用現(xiàn)代信息技術和有關軟件，制作一些課件，如動態(tài)演示空間點、直線、平面之間的位置關系，空間中的平行與垂直關系等等。
�。�3）平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結(jié)合的學科。信息技術在加強幾何直觀，促使數(shù)與形結(jié)合方面有著特殊的作用。借助信息技術，可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的曲線。在動態(tài)演示中，觀察曲線的性質(zhì)，在直觀了解的基礎上，尋求形成這些性質(zhì)的原因以及代數(shù)表示。通過方程研究曲線與曲線的關系時，運用現(xiàn)代信息技術，可以進一步驗證得到的結(jié)果，為抽象的認識增添形象的支持。例如，在探究點的軌跡時，可以借助信息技術，探究軌跡的形狀。
九、對數(shù)學2在必修課程中順序的思考
按照傳統(tǒng)的安排，立體幾何初步和解析幾何初步內(nèi)容通常安排在三角函數(shù)和平面向量的后面，把平面向量和三角函數(shù)作為工具研究解析幾何。具體到必修課程的順序安排，就是先學數(shù)學4再學數(shù)學2。孰前孰后，孰優(yōu)孰劣，應該說，兩種方式各有自己的特點。數(shù)學2在前，解析幾何初步中在引進斜率的概念時，就需要采取新的方式。雖然無法建立直線的傾斜角與斜率之間的數(shù)量關系，但是整個解析幾何初步的學習內(nèi)容變得平易、淺顯。數(shù)學4在前，可用平面向量和三角函數(shù)作為工具，研究直線的傾斜角與斜率之間的關系，同時豐富直線和圓的內(nèi)容。
以上是我們在編寫《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學2(必修)》A版時的一些思考。誠懇地希望在教材實驗過程中，教師和學生給我們提出寶貴的意見和建議。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/203082.html
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