【摘要】鑒于大家對十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯點平面解析幾何”，供大家參考!
本文題目：高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯點平面解析幾何
一、高考預(yù)測
解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標系，該部分內(nèi)容是整個解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進行.根據(jù)近年來各地高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預(yù)計2012年該部分的考查仍然是以選擇題或者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識的應(yīng)用.
圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個選擇題或者填空題，一個解答題.選擇題或者填空題在于有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，試題考查主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大;解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一.由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計2012年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.
解析幾何的知識主線很清晰，就是直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程及其簡單幾何性質(zhì)，復(fù)習(xí)解析幾何時不能把目標僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達定理進行整體代入的解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何問題中起著重要作用，數(shù)形結(jié)合思想占首位，其次分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，如解析幾何中的最值問題往往就是建立求解目標的函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值.復(fù)習(xí)解析幾何時要充分重視數(shù)學(xué)思想方法的運用.
二、知識導(dǎo)學(xué)
(一)直線的方程
1.點斜式： ;2. 截距式： ;
3.兩點式： ;4. 截距式： ;
5.一般式： ，其中A、B不同時為0.
(二)兩條直線的位置關(guān)系
兩條直線 ， 有三種位置關(guān)系：平行(沒有公共點);相交(有且只有一個公共點);重合(有無數(shù)個公共點).在這三種位置關(guān)系中，我們重點研究平行與相交.
設(shè)直線 ： = + ，直線 ： = + ，則
∥ 的充要條件是 = ，且 = ; ⊥ 的充要條件是 =-1.
(三)圓的有關(guān)問題
1.圓的標準方程
(r>0)，稱為圓的標準方程，其圓心坐標為(a，b)，半徑為r.
特別地，當圓心在原點(0，0)，半徑為r時，圓的方程為 .
2.圓的一般方程
( >0)稱為圓的一般方程，
其圓心坐標為( ， )，半徑為 .
當 =0時，方程表示一個點( ， );
當 <0時，方程不表示任何圖形.
3.圓的參數(shù)方程
圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：
(θ為參數(shù))
(θ為參數(shù))
(四) 橢圓及其標準方程
1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點 、 的距離的和大于 這個條件不可忽視.若這個距離之和小于 ，則這樣的點不存在;若距離之和等于 ，則動點的軌跡是線段 .
2.橢圓的標準方程： ( > >0)， ( > >0).
3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果 項的分母大于 項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
4.求橢圓的標準方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置;⑵ 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.
(五)橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 ( > >0).
⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x= 和y= 所圍成的矩形里.
⑵ 對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱，關(guān)于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點：有四個 (-a，0)、 (a，0) (0，-b)、 (0，b).
線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0
橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有 = + 、 兩個關(guān)系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.
(六)橢圓的參數(shù)方程
橢圓 ( > >0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同： ;
⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換.
(七)雙曲線及其標準方程
1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點 、 的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(小于 )的動點 的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a< ，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a= ，則動點的軌跡是兩條射線;若2a> ，則無軌跡.
若 < 時，動點 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 > 時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.
2. 雙曲線的標準方程： 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
1的常數(shù)(離心率)的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線 ，它的焦點坐標是(-c，0)和(c，0)，與它們對應(yīng)的準線方程分別是 和 .在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有 與 的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.
(九)拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)
1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(F)和一條定直線(l)的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。
需強調(diào)的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2.拋物線的方程有四種類型： 、 、 、 .
對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項;一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向;一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。
3.拋物線的幾何性質(zhì)，以標準方程y2=2px為例
(1)范圍：x≥0;
(2)對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出;
(3)頂點：O(0，0)，注：拋物線亦叫無心圓錐曲線(因為無中心);
(4)離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的;
(5)準線方程 ;
(6)焦半徑公式：拋物線上一點P(x1，y1)，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的 的點.
那么，這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡).
注意事項
1. ⑴ 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于x軸的傾斜程度.當斜率k存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜率不存在時，直線方程為x=a(a∈R).因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因為a≠0，b≠0，所以當直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.
⑷當直線 或 的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這樣可以簡化計算.
2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在. ⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.⑶求雙曲線的標準方程 應(yīng)注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置;⑵ 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.⑷雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式： ，其中k是一個不為零的常數(shù).⑸雙曲線的標準方程有兩個 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.⑹求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.
解題的策略有：1、注意直線傾斜角范圍 、設(shè)直線方程時注意斜率是否存在，可以設(shè)成 ，包含斜率不存在情況，但不包含斜率為0情況。注意截距為0的情況;注意點關(guān)于直線對稱問題(光線的反射問題);注意證明曲線過定點方法(兩種方法：特殊化、分離變量)2、注意二元二次方程表示圓的充要條件、善于利用切割線定理、相交弦定理、垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題;注意將圓上動點到定點、定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離;注意圓的內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理。以過某點的線段為弦的面積最小的圓是以線段為直徑，而面積最大時，是以該點為線段中點。3、注意圓與橢圓、三角、向量(注意利用加減法轉(zhuǎn)化、利用模與夾角轉(zhuǎn)化、然后考慮坐標化)結(jié)合;4、注意構(gòu)建平面上的三點模型求最值，一般涉及“和”的問題有最小值，“差”的問題有最大值，只有當三點共線時才取得最值;5、熟練掌握求橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的方法：待定系數(shù)法或定義法，注意焦點位置的討論，注意雙曲線的漸近線方程：焦點在軸上時為 ，焦點在 軸上時為 ;注意化拋物線方程為標準形式(即2p、p、的關(guān)系);注意利用比例思想，減少變量，不知道焦點位置時，可設(shè)橢圓方程為 。6、熟練利用圓錐曲線的第一、第二定義解題;熟練掌握求離心率的題型與方法，特別提醒在求圓錐曲線方程或離心率的問題時注意利用比例思想方法，減少變量。7、注意圓錐曲線中的最值等范圍問題：產(chǎn)生不等式的條件一般有：①“ 法”;②離心率 的范圍;③自變量 的范圍;④曲線上的點到頂點、焦點、準線的范圍;注意尋找兩個變量的關(guān)系式，用一個變量表示另一個變量，化為單個變量，建立關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法， 注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍、離心率范圍以及根的判別式范圍。8、求軌跡方程的常見方法：①直接法;★②幾何法;★③定義法;★④相關(guān)點法; 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中點等條件以向量形式給出;注意將有關(guān)向量的表達式合理變形;特別注意遇到角的問題，可以考慮利用向量數(shù)量積解決;10、注意存在性、探索性問題的研究，注意從特殊到一般的方法。
三、易錯點點睛
命題角度1對橢圓相關(guān)知識的考查
1.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( )
[考場錯解] A
[專家把脈] 沒有很好地理解橢圓的定義，錯誤地把 當作離心率.
[對癥下藥] D 設(shè)橢圓的方程為 =l (a，b >0) 由題意可設(shè)PF2=F1F2=k，PF1= k，則e=
2.設(shè)雙曲線以橢圓 =1長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 ( )
A.±2 B.± C.± D.±
[考場錯解] D 由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓 =1長軸的兩個端點為焦點，則a=c =4，b=3 ∴k=
[專家把脈] 沒有很好理解a、b、c的實際意義.
[對癥下藥] C 設(shè)雙曲線方程為 =1，則由題意知c=5， =4 則a2=20 b2=5，而a=2 b= ∴雙曲線漸近線斜率為± =
3.從集合{1，2，3…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程 =1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B={(x，y)‖x<11，且y<9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為 ( )
A.43 B.72 C.86 D.90
[考場錯解] D 由題意得，m、n都有10種可能，但m≠n故橢圓的個數(shù)10×10-10=90.
[專家把脈] 沒有注意，x、y的取值不同.
[對癥下藥] B 由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且m≠n，故橢圓的個數(shù)：10×8-8=72.
4.設(shè)直線l與橢圓 =1相交于A、B兩點，l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點，C、D三等分線段AB，求直線l的方程 ( )
[考場錯解] 設(shè)直線l的方程為y=kx+b
如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點為A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 =3
由 所以x1+x2=-
由 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2) 若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1
所以x3+x4= 、由 x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 - bk=0或b =0
①當k=0時，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=± 由 =3(x4-x1)即 故l的方程為y=±
②當b=0時，由(1)得x1、2=± ，由(2)得x3、4= 由 =3(x4-x3)即 綜上所述：直線l的方程為：y=
[專家把脈] 用斜截式設(shè)直線方程時沒有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解.
[對癥下藥] 解法一：首先討論l不與x軸垂直時的，情況.
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點為：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 .由 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=- 由 得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.
若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1.所以x3+x4=
由 x1+x2=x2+x4 或 b=0.
①當k=0時，由(1)得 由(2)得x3、4=± 由 (x4-x3).
即 故l的方程為 y=±
②當b=0時，由(1)得x1、2=
自(2)得x3、4= (x4-x3).即
故l的方程為y= .再討論l與x軸垂直時的情況.
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2=
y3、4= 即
綜上所述，直線l的方程是：y= x、y=± 和x=
x3、4= ∵x2-x1=3(x4-x3) .故l的方程為y=±
②當y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，這時l平行y軸.設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2= y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3)
故l的方程為：
③當x0=0，y0=0時，這時l通過坐標原點且不與x軸垂直.設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2= 故l的方程為y= 綜上所述，直線l的方程是：y= 、y= 和x=
5.設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. (1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程; (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)
[考場錯解] (1)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有: (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依題意，x1≠x2 ∴kAB- ∵N(1，3)是AB的中點，∴x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范圍是(-∞，12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[專家把脈] ①用“差比法”求斜率時kAB= 這地方很容易出錯.②N(1，3)在橢圓內(nèi)，λ>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時也易混淆.
[對癥下藥] (1)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)，則x1，x2是方程①的兩個不同的根，
∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2= ，由N(1，3)是線段AB的中點，得 ，∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范圍是(12，+∞).于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依題意，x1≠x2，∴kAB=- ∵N(1，3)是AB的中點，∴x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1.又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范圍是(12，∞).直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4
又設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點為M(x0，y0)，則x3， x4是方程③的兩根，∴x3+x4=-1，且x0= (x3+x4)=- ，y0=x0+2= ，即M(- ， ).于是由弦長公式可得CD= ④將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得AB= ⑥ ∵當λ>12時， > ,∴AB<CD
假設(shè)存在λ>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為d= ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+
故當λ>12時，A、B、C、D四點均在以M為圓心， 為半徑的圓上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：) A、B、C、D共圓 △ACD為直角三角形，A為直角 AN2 =CN•DN，即 . ⑧
由⑥式知，⑧式左邊= ,由④和⑦知，⑧式右邊=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-λ=0.③
將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨設(shè)A(1+
計算可得 ,∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.
(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)
專家會診 1.重點掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究.2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時只考慮到焦點在，軸上的情形;研究直線與橢圓位置關(guān)系時忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長公式韋達定理聯(lián)系去解決;關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有：判別式法，自身范圍法等.求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點法，參數(shù)法等.
命題角度2對雙曲線相關(guān)知識的考查
1.已知雙曲線x2- =1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且 ，則點M到x軸的距離為 ( )
[考場錯解] B
[專家把脈] 沒有理解M到x軸的距離的意義.
[對癥下藥] C 由題意得a=1，b= ，c= 可設(shè)M (x0，y0)MF1=ex0+a= x0+1，
MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=
即點M到x軸的距離為
2.已知雙曲線 =1(a>0，b>0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為 (O為原點)，則兩條漸近線的夾角為 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[考場錯解] B
[專家把脈] 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角.
[對癥下藥] D 由題意得A( )s△OAF= •c• ，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°.
解不等式，得
專家會診 1.注意雙曲線兩個定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強調(diào)e>1，必須明確焦點與準線的對應(yīng)性 2.由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏. 3.掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運用.
命題角度3對拋物線相關(guān)知識的考查。
1.過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 ( )
A.有且僅只有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在
[考場錯解] D 由題意得AB=5 p=4，通徑長為 2×4=8 5<8，故不存在這樣的直線.
[專家把脈] 沒有理解拋物線焦點的弦長及p的意義.
[對癥下藥] B 解法一：由題意得P=2，通徑長為4，而AB=x1+x2+p=7，由7>4，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個值，即直線有且僅有兩條.
2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線. (1)當且僅當x1+x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F?證明你的結(jié)論; (Ⅱ)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍.
[考場錯解] (Ⅱ)，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過點A、B的直線方程可寫為y= 與y=2x2聯(lián)立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;設(shè)AB的中點N的坐標為(x0，y0)
則x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b，于是b= 即得l在y軸上截距的取值范圍為[ ].
[專家把脈] 沒有借助“△>0”來求出m> ，無法進一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當作大于或等于0.
[對癥下藥] (1)F∈l FA=FB A、B兩點到拋物線的準線的距離相等. ∵拋物線的準線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意 y1、y2不同時為0， ∴上述條件等價于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;
∵x1≠x2，∴上述條件等價于 x1+x2=0. 即當且僅當x1+x2=0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F。
(Ⅱ)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過點A、B的直線方程可寫為y=- x+m，所以x1、x2滿足方程2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ; A、B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式 +8m>0，即m> 設(shè)AB的中點N的坐標為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m
由N∈l，得 +m=- +b，于是b= +m> 即得l在y軸上截距的取值范圍為( ，+∞).
3.如圖，過拋物線y2=2px(p>0)上一定點p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A (x1，y1)，B(x2，y2).(1)求該拋物線上縱坐標為 的點到其焦點F的距離; (Ⅱ)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求 的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).
[考場錯解] (1)當y= 時，x= 又拋物線的準線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0
相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).
同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故kAB= 將y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常數(shù).
[專家把脈] ①沒有掌握拋物線的準線方程，②計算不夠準確.
[對癥下藥] (1)當y= 時，x= ，又拋物線y2= 2px的準線方程為x= ，
由拋物線定義得，所求距離為 -(- )=
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB
由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).
由PA、PB傾斜角互補知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，
故 =-2. 設(shè)直線AB的斜率為kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常數(shù).
4.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程;
(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.
[考場錯解](Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又點A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=0或-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2，故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+ .
[專家把脈]沒有考慮到x1x2=0時，△AOB不存在
[對癥下藥] (Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
又點A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
當且僅當x16=x26即x1=-x2=-1時，等號成立。所以△AOB的面積存在最小值，最小值為1。
專家會診用待定系數(shù)法求拋物線標準方程，注意分類討論思想。凡涉及拋物線的弦長，弦的中點，弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復(fù)雜運算。解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)。
∴(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 消去x2得
[專家把脈] (1)沒有考慮到1-a2≠0(Ⅱ)沒有注意到題目本身的條件a>0.
[對癥下藥] (1)由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ，即離心率e的取值范圍為( )∪( ).
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a>0，所以a=
2.給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點 (1)設(shè)l的斜率為1，求 與 夾角的大小; (Ⅱ)設(shè) ，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍.
[考場錯解] (1)設(shè) 與 夾角為α;由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1.易得 • =x1x2+y1y2=-3， cosα= ∴α=-arccos
(Ⅱ)由題意知 ，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為A'、B'.
∴FB=BB'，AF=AA' ∴BB’=λAA'，λ∈[4， 9]
設(shè)l的方程為y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴AA'= +l =
BB'=
[專家把脈] (Ⅰ)沒有理解反余弦的意義.(Ⅱ)思路不清晰.
[對癥下藥] (1)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1.
將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1.
=(x1，y1)•(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.
所以 與 夾角的大小為π-arc cos (Ⅱ)由題設(shè) 得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
聯(lián)立①、③解得x2=λ，依題意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直線
(2)當PF1=F1F2時，同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.
(3)當PF2=F1F2時，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0
綜上所述，當λ= 或-2或0時△PF1F2，F(xiàn)2為等腰三角形.
[專家把脈] (1)沒有注意到因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2 (2)沒有注意到橢圓離心率的范圍.
[對癥下藥] (1)證法一：因為A、B分別是直線l：y= ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是(- )(0,a). 由
所以點M的坐標是(-c, )，由 得(-c+ )=λ( ，a). 即
證法二：因為A、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是(- ，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標是(x0，y0)，由 得( )，
所以 因為點M在橢圓上，所以 =1，
即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2.
(Ⅱ)解法一：因為PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 設(shè)點F1到l的距離為d，由 PF1=d， = ,得
=e.所以e2= ，于是λ=1-e2= .即當λ= 時，△PF1F2為等腰三角形.
解法二：因為PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,設(shè)點P的坐標是(x0，y0)，
則 解得 由PF1=FlF2得 =4c2，
兩邊同時除以4a2，化簡得 =e2.從而e2= 于是λ=l-e2= .即當λ= 時，△PF1F2為等腰三角形.
4.拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過拋物線C上一點P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(P、A、B三點互不相同)，且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程; (Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M滿足 =λ ，證明線段PM的中點在y軸上 (Ⅲ)當A=1時，若點P的坐標為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍.
[考場錯解] (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點坐標為( ，0)準線方程為x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有 • <0易得k1的取值范圍是 k1<-2或
故當k1<-2時，y¬<-1;當-
[專家把脈] 沒有掌握好拋物線的標準形式及交并集的概念.
[對癥下藥] (1)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點坐標為(0， )，準線方程為y=- .
(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0)，直線 PB的方程為y-y0=k2(x-x0).
點P(x0，y0)和•點A(x1，y1)的坐標是方程組
的解.將②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0③
又點P(x0，y0)和點B(x2，y2)的坐標是方程組
的解.將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-λkl，則x2= ⑥設(shè)點M的坐標為(xM,yM)，由 =λ ，則xM= .將③式和⑥式代入上式得 x0，即xM+x0=0.所以線段PM的中點在y軸上.
(Ⅲ)因為點P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2.由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.將λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1).
于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有 <0.求得k1的取值范圍是k1<-2或-
專家會診 1.判定直線與圓錐曲線交點個數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對于直線與雙曲線的交點個數(shù)問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對稱軸的位置關(guān)系來判定，不可混淆.2.涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用韋達定理，設(shè)而不求計算弦長，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯.3.涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。
命題角度5對軌跡問題的考查
1.(典型例題)已知雙曲線的中心在原點，離心率為若它的一條準線與拋物線y2=4x的準線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點到原點的距離是 ( )
A.2 B. C.18+12 D.21
[考場錯解] C
[專家把脈] 對雙曲線的定義理解不夠深刻.
[對癥下藥] B 設(shè)雙曲線方程為 =1，由題意得 則a= b= ，則雙曲線方程為 =1,由 得A(3，2 )，故交點到原點的距離為
2.(典型例題)已知點A(-2，0)、B(3，0)，動點P(x，y)滿足 =x2，則點P的軌跡是 (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 • =d2即 =d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動點P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[專家把脈] 沒有很好地理解題意，第二問出現(xiàn)兩解，致使第三問過于復(fù)雜難以完成.
[對癥下藥] 解：(I)W1={(x，y)kx0}，
(Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0，由題意得 • =d2，即 =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以動點P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0;
(Ⅲ)當直線J與，軸垂直時，可設(shè)直線J的方程為，x=a (a≠0).由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對稱，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點坐標都為(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標都為( a，0)，即它們的重心重合，
當直線l1與x軸不垂直時，設(shè)直線J的方程為y=mx+n(n ≠0).
由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要條件是：
又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2
即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[專家把脈] (1)沒有注意證明題的書寫格式(2)思考問題不夠全面.
[對癥下藥] (1)證法一：設(shè)點P的坐標為(x，y).由P(x，y)在橢圓上，得
2
由x≤a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+ x.新課 標第 一網(wǎng)
證法二：設(shè)點P的坐標為(x，y).記
則r1= ，r2= .
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ .
證法三：設(shè)點P的坐標為(x，y).橢圓的左準線方程a+ =0.
由橢圓第二定義得 即
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：設(shè)點T的坐標為(x，y).當 =0時，點(a，0)和點(-a，0)在軌跡上.當 且 時，由 =0，得 又 ，所以T為線段F2Q的中點.在△QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
解法二：設(shè)點T的坐標為(x，y).當 =0時，點(a，0)和點(-a，0)在軌跡上.
當 且 時，由 又 = ，所以T為線段F2Q的中點.
設(shè)點Q的坐標為(x'，y')，則 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②
將①代入②，可得x2+y2=a2.綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在點M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由③得，y0≤a，由④得，y0≤ ，所以，當a≥ 時，存在點M，使S=b2;
當a< 時，不存在滿足條件的點M.當a≥ 時， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，
由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在點M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由④得y0 ，上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.
于是，當a≥ 時，存在點M，使s=b2;當a< 時，不存在滿足條件的點M.
當a≥ 時，記k1=kF1M=
由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= =2.
專家會診 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動點的運動規(guī)律表示出來，實質(zhì)上是一個翻譯過程，故選取一定解題策略找到動點運動規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起.(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點”的去除.
故舍去
綜上所述：當x= 時d取得最小值
[專家把脈] 沒有考慮到橢圓的分面有界性，致使思路不清晰，計算繁瑣.
[對癥下藥] [解](1)由已知可得點A(-6，0)，F(xiàn)(0，4)
設(shè)點P(x，y)，則 =(x+6，y)， =(x-4，y)，由已知可得
則 2x2+9x-18=0，x= 或x=-6.由于y>0，只能x= ，于是y= 點P的坐標是( )
(2)直線AP的方程是x- +6=0.設(shè)點M(m，0)，則M到直線AP的距離是 .于是 = m-6，又-6≤m≤6，解得m=2.橢圓上的點(x，y)到點M的距離d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6≤m≤6，∴當x= 時，d取得最小值
2.如圖，直線y= x嚴與拋物線y= x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點Q. (1)求點Q的坐標 (2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含點A、B)的動點時，求△OPQ面積的最大值.
[考場錯解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直線OQ的方程為x+y=0
設(shè)P(x, -4)∵點P到直線OQ的距離
d=
∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15
[專家把脈] 要注意二次函數(shù)最大值的求法.
[對癥下藥] (1)解方程組 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，從而AB的中點為M(2，1)，由 ，得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2).令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5).
(2)直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P(x， -4)，∵點P到直線OQ的距離d= ∵P為拋物線上位于線段AB下方點，且P不在直線OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4
3.設(shè)橢圓方程為x2+ =1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B、O是坐標原點，點P滿足 ，點N的坐標為( ， )，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求： (Ⅰ)動點戶的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值與最大值.
[考場錯解] (1)①若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x1+x2=
i)A=0時，x=0 y=1，∴P(0，1)
ii)k≠0時，k= ∴P點的軌跡為：x2+y2-y=0(y≠O)
②若l不存在斜率，∴A、B為上、下頂點.∴P(0，0)
(2)解：∵N( )，i)，∵k不存在時P(0，0)， ii) k=0時P(0，1). iii)k≠0時x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.
[專家把脈] 思路不清晰.
[對癥下藥] (1)解法一：直線l過點M(0，1)，設(shè)其斜率為A，則J的方程為y=kx+1.
記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得A、B的坐標(x1，y1)、(x2,y2)是方程組 的解.
將①代入②并化簡得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是
設(shè)點P的坐標為(x，y)，則 消去參數(shù)k得 4x2+y2-y=0. ③當k不存在時，A、B中點為坐標原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0
解法二：設(shè)點P的坐標為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以
④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0
當x1≠x2時，有 ⑥并且 ⑦
將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧
當x1=x2時，點A、B的坐標為(0，2)、(0，-2)，這時點p的坐標為(0，0)也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為
(Ⅱ)解法：由點P的軌跡方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以
故當x= 時， 取得最小值，最小值為 ，當x= 時， 取得最大值，最大值為
由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
則
的取值范圍是[2，+∞].
[專家把脈] (1)沒有注意“雜點”的去除;(Ⅱ)沒有注意利用重要不等式時等號成立的條件.
[對癥下藥] 解法：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依題意x1≠0，yl>0，y2>0.由y= x2，①得y'=x. ∴過點P的切線的斜率k切=x1, ∵x1=0不合題意， ∴x1≠0.
∴直線l的斜率k1= ,直線l的方程為y- x21= (x-x1).②
方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+ -x21-2=0. ∵M為PQ的中點，
消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0)，∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0)，
方法二：由y1= x21,y2= x22，x0= ，得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，則x0= k1=- ∴x1=- ,將上式代入②并整理，得y0=x20+ +1(x0≠0)， ∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0).
(Ⅱ)設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為p'、 Q'，則
由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0.③則
方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=kTP,即 則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=
可取一切不等于l的正數(shù)， 的取值范圍是(2，+∞).
專家會診①直線過定點的問題，常用直線系的思想處理. ②定值問題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過一些基本變量表示，最終化成常數(shù).③最值問題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、已知橢圓 右頂點與右焦點的距離為 ，短軸長為 (I)求橢圓的方程;(Ⅱ)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為 求直線AB的方程。
【解析】(Ⅰ)由題意， -----1分解得 -----2分
即：橢圓方程為 -----4分
(Ⅱ)當直線 與 軸垂直時， ， 此時 不符合題意故舍掉;
當直線 與 軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為： ，代入消去 得：
------5分 設(shè) ，則 ，
所以 -----7分原點到直線的 距離 ，
所以三角形的面積 .由 ，
所以直線 或 .--------12分
2、設(shè)橢圓 的左焦點為 ，左、右頂點分別為 ，上頂點為 ，過 三點做 .(Ⅰ)若 是 的直徑，求橢圓的離心率;(Ⅱ)若 的圓心在直線 上，求橢圓的方程。
【解析】(Ⅰ)由橢圓的方程知 ∴ 設(shè) …1分∵ 是 的直徑，
∴ ,∵ ∴ ，…2分∴ ，
解得： …5分∴橢圓的離心率 …6分
(Ⅱ)解：∵ 過點 三點，∴圓心 即在 的垂直平分線，也在 的垂直 端點恰為一個正方形的頂點.過右焦點 與 軸不垂直的直線 交橢圓于 ， 兩點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)在線段 上是否存在點 ,使得 ?若存在，求出 的取值范圍;若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)因為橢圓的短軸長： ，又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以： ;故橢圓的方程為： ……4分
(Ⅱ)(1)若 與 軸重合時，顯然 與原點重合， ;
(2)若直線 的斜率 ，則可設(shè) ，設(shè) 則：
所以化簡得： ;
的中點橫坐標為： ，代入 可得： 的中點為
， 由于 得到 所以：
直線 …10分
.12分
直線 恒過定點 .……13分
5、設(shè)橢圓 的離心率與雙曲線 的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓 。(Ⅰ)求橢圓 的方程;(Ⅱ)若直線 交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點 ，求 面積的最大值。
【解析】(Ⅰ)雙曲線的離心率為 ，則橢圓 的離心率為 ，圓 的直徑為 ，則 ，由 所求橢圓 的方程為 …12分
6、已知橢圓 的右焦點恰好是拋物線 的焦點F，點A是橢圓E的右頂點. 過點A的直線 交拋物線C于M，N兩點，滿足 ，其中 是坐標原點. (Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)過橢圓E的左頂點B作 軸平行線BQ，過點N作 軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點Q. 若 是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程.
【命題意圖】本題考查橢圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化求解能力.
【解析】(Ⅰ) ，∴ ，設(shè)直線 代入 中，整理得 .設(shè) ，則 ，又∵ ，
∴ ，由 得 ，解得 或 (舍)，
得 ，所以橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)橢圓E的左頂點 ，所以點 .易證M，O，Q三點共線.當QM為等腰 的底邊時，由于 ，∴O是線段MQ的中點，∴ 所以 ，即直線 的方程為 ;
當QN為等腰 底邊時， ，又∵ ，解得 或 ∴ ，所以直線MN的方程為 ，即 .綜上所述，當 為等腰三角形時，直線MN的方程為 或 .
7、在平面直角坐標系 中，動點 到定點 的距離比它到 軸的距離大 ，設(shè)動點 的軌跡是曲線 .(Ⅰ)求曲線 的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)直線 : 與曲線 相交于 、 兩點，已知圓 經(jīng)過原點 和 兩點，求圓 的方程,并判斷點 關(guān)于直線 的對稱點 是否在圓 上.
【解析】解：(1)由已知，即動點 到定點 的距離等于它到定直線 的距離，…2分
∴動點 的軌跡曲線 是頂點在原點，焦點為 的拋物線和點 …………4分
∴曲線 的軌跡方程為 和 .…6分由 解得 或
…8分即 , 設(shè)過原點與點 、 的圓 的方程為 ，
則 ,解得 ∴圓 的方程為 即
…10分由上可知，過點 且與直線 垂直的直線 方程為：
解方程組 ，得 即線段 中點坐標為 ……12分
從而易得點 關(guān)于直線 的對稱點 的坐標為 把代入 代入：
∴點 不在圓 上.……14分
8、過拋物線 上不同兩點 、 分別作拋物線的切線相交于點 )， .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求證：直線 恒過定點;(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中直線 恒過定點為 ，若 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)設(shè) ， ， .由 ，得： ， ，
， ， .直線 的方程是： .即 .
同理，直線 的方程是： .②由①②得： ， .
(Ⅱ)恒過點 … 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得： ， ， ，
， .
. .故 .
9、已知點 ,直線 與直線 斜率之積為 ，記點 的軌跡為曲線 .(Ⅰ)求曲線 的方程;(Ⅱ)設(shè) 是曲線 上任意兩點，且 ,是否存在以原點為圓心且與 總相切的圓?若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)設(shè) 則由直線 與直線 斜率之積為 得 ， .
.(*)
由 得 ，整理得 .代入(*)式解得
此時 中 .此時原點O到直線 的距離
.故原點O到直線 的距離恒為 .存在以原點為圓心且與 總相切的圓，方程為 .--12分
10、已知對稱中心為坐標原點的橢圓 與拋物線 有一個相同的焦點 ，直線 與拋物線 只有一個公共點.(1)求直線 的方程;(2)若橢圓 經(jīng)過直線 上的點 ，當橢圓 的的離心率取得最大值時，求橢圓 的方程及點 的坐標.
(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力)
.… 3分∴直線 的方程為 .…… 4分
(2)法1：∵拋物線 的焦點為 ， 依題意知橢圓 的兩個焦點的坐標為
設(shè)點 關(guān)于直線 的對稱點為 ，
則 …7分 解得 ∴點 … 8分 ∴直線 與直線
的交點為 9分由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓 的長軸長
其中當點 與點 重合時，上面不等式取等號∴ . ∴ .
故當 時， ， 12分此時橢圓 的方程為 ，點 的坐標為 … 14分
法2：∵拋物線 的焦點為 ， 依題意知橢圓 的兩個焦點的坐標為 .5分
設(shè)橢圓 的方程為 ，… 6分由 消去 ，
得 .(*) 7分
若直線 交直線 于點 ，過 作直線 的垂線交 軸于點 ，求 的坐標; (Ⅲ)求點 在直線 上射影的軌跡方程.
【解析】(Ⅰ)由題意知 ,故橢圓方程為 ......3分
(Ⅱ)設(shè) ， 則由圖知 ，得 ,故 .
設(shè) ,由 得： ， .
又 在橢圓上，故 ，化簡得 ，即 ....8分
(Ⅲ)點 在直線 上射影即PQ與MB的交點H，由 得 為直角三角形，設(shè)E為 中點，則 = = ， ，因此H點的軌跡方程為 .
由點 知直線 的方程為 .分別在其中令
及 得 .5分將 的坐標代入 中得
,即 ,7分所以 8分
(Ⅱ)設(shè)橢圓 的方程為 ,將 , 代入,
得 ,9分解得 , 由 得 . 10分
橢圓 的焦距
(或 ) 12分
當且僅當 時,上式取等號, 故 , 13分
此時橢圓 的方程為 14分
13、已知點P是圓F1： 上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱. 線段PF2的中垂線與PF1交于M點.(Ⅰ)求點M的軌跡C的方程;(Ⅱ)設(shè)軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得HK=KQ，連結(jié)AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
【解析】(Ⅰ)由題意得， (1分)
圓 的半徑為4，且 (2分)
從而 (3分)
∴ 點M的軌跡是以 為焦點的橢圓,其中長軸 ,焦距 ，則短半軸 (4分)橢圓方程為: (5分)
(Ⅱ)設(shè) ，則 .∵ ，∴ .∴ (6分)
∴ 點在以 為圓心，2為半徑的的圓上.即 點在以 為直徑的圓 上.(7分)
又 ，∴直線 的方程為 .(8分)令 ，得 (9分)
又 ， 為 的中點，∴ (10分)∴ ， (11分)
∴
(Ⅱ)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，
則△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，且x1+x2=，x1x2=.
∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，∴k2=1，即k=±1.
設(shè)點O到直線l的距離為d，則d=，∴S△OAB=ABd=x1-x2 •
=x1-x2 m=.由直線OA，OB的斜率存在，且△>0，得0
∴0<<=a2.故△OAB面積的取值范圍為(0，a2).…(10分)
(Ⅲ)對橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設(shè)不過原點O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則△OAB面積的取值范圍為(0，ab).”……(13分)
15、已知 分別為橢圓 的左右焦點， 分別為其左右頂 點，過 的直線 與橢圓相交于 兩點. 當直線 與 軸垂直時，四邊形 的面積等于2，且滿足 .⑴求此橢圓的方程;⑵當直線 繞著焦點 旋轉(zhuǎn)但不與 軸重合時，求 的取值范圍.
【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識.
【解析】⑴當直線 與x軸垂直時，由 ，得 .
又 ,所以 ，即 ，又 ，
解得 . 因此該橢圓的方程為 . (4分)
⑵設(shè) ，而 ，所以 ， ，
， .從而有
. (6分)
因為直線 過橢圓的焦點 ，所以可以設(shè)直線 的方程為 ，則由 消去 并整理，得 ，所以 ， . (8分)
進而 ， ，可得 . (10分)
令 ，則 . 從而有 ，而 ，
所以可以求得 的取值范圍是 .(12分)
16、已知 、 分別是橢圓C ： 的左、右焦點，
M、N分別是雙曲線C ： 的左、右焦點，
過N作雙曲線漸進線的垂線，垂足為P，
若PF ⊥x軸(1)橢圓C 與雙曲線C 的方程;
(2)分別過F 和N作兩條平行線 、 ， 交橢圓于A、B， 交雙曲線右支于D、E，問：是否存在 ，使得 為定值，若不存在，說明理由。
解：(1)可求出a2=2 ∴兩種曲線的方程分別為
(2)若L1，L2不垂直于x軸，設(shè)其斜率為k，則
, 定值為 當L1，L2與x軸垂直時
, 定值為
17、如圖，過點 作拋物線 的切線 ，切點A在第二象限.(1)求切點A的縱坐標;(2)若離心率為 的橢圓 恰好經(jīng)過切點A，設(shè)切線 交橢圓的另一點為B，記切線 、OA、OB的斜率分別為 ，求橢 (2)由(1)得 ，切線斜率 ，設(shè) ，切線方程為 ，由 ，
得 .…7分所以橢圓方程為 ，且過 ， .…9分
由 ， ，…11分
…15分
18、已知曲線 都過點A(0，-1)，且曲線 所在的圓錐曲線的離心率為 .(Ⅰ)求曲線 和曲線 的方程;
(Ⅱ)設(shè)點B,C分別在曲線 ， 上， 分別為直線AB,AC的斜率,
當 時，問直線BC是否過定點?若過定點，求出定點坐標;若不過定點，請說明理由.
，即 .…12分故 過定點 .…13分
19、在ΔABC中，頂點A,B, C所對三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數(shù)列.(I )求頂點A的軌跡方程;(II) 設(shè)頂點A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，如果存在過點P(0,- )的直線l,使得點M、N關(guān)于l對稱，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(I)由題知 得b+c=4，即AC+AB=4(定值).由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓(除去左右頂點)，且其長半軸長為2，半焦距為1，于是短半軸長為 .∴ 頂點A的軌跡方程為 .…4分
(II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3.①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
設(shè)MN的中點P(x0，y0)，則
，……7分
i)當k=0時，由題知， .………8分
ii)當k≠0時，直線l方程為 ，由P(x0，y0)在直線l上，得 ，得2m=3+4k2.②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 .∴ .
驗證：當(-2，0)在y=kx+m上時，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k無解.即y=kx+m不會過橢圓左頂點.同理可驗證y=kx+m不過右頂點.∴ m的取值范圍為( ).…………11分
綜上，當k=0時，m的取值范圍為 ;當k≠0時，m的取值范圍為( ).…12分
20、已知圓 的圓心在坐標原點 ,且恰好與直線 相切. (Ⅰ) 求圓的標準方程;(Ⅱ)設(shè)點 為圓上一動點, 軸于 ,若動點 滿足 ,(其中 為非零常數(shù)),試求動點 的軌跡方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下，當 時, 得到曲線 ，與 垂直的直線 與曲線 交于 、 兩點,求 面積的最大值.
【解析】 (Ⅰ)設(shè)圓的半徑為 ,圓心到直線 距離為 ，則 2分圓 的方程為
(Ⅱ)設(shè)動點 , , 軸于 ,
由題意, ，所以 5分
即: ，將 代入 ,得 7分 文
【總結(jié)】2013年為小編在此為您收集了此文章“高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯點平面解析幾何”，今后還會發(fā)布更多更好的文章希望對大家有所幫助，祝您在學(xué)習(xí)愉快!
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