排列組合問題在實(shí)際應(yīng)用中是非常廣泛的，并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的，下面就通過一些實(shí)例來總結(jié)實(shí)際應(yīng)用中的解題技巧。
1.排列的定義：從n個不同元素中，任取m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
2.組合的定義：從n個不同元素中，任取m個元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
3.排列數(shù)公式：
4.組合數(shù)公式：
5.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：與順序有關(guān)的為排列問題，與順序無關(guān)的為組合問題。
例1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？
分析 此題涉及到的是不相鄰問題，并且是對老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素，在解決時(shí)就要特殊對待。所涉及問題是排列問題。
解 先排學(xué)生共有種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插，選其中的4個空檔，共有種選法。根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種。
結(jié)論1 插入法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題，可以用插入法。即先排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。
例2 5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？
分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題，對于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她們要相鄰，因此可以將她們看成是一個元素來解決問題。
解 因?yàn)榕旁谝黄�，所以可以�?個女生看成是一個人，與5個男生作全排列，有種排法，其中女生內(nèi)部也有種排法，根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法。
結(jié)論2 捆綁法：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列。
例3 高二年級8個班，組織一個12個人的年級學(xué)生分會，每班要求至少1人，名額分配方案有多少種？
分析 此題若直接去考慮的話，就會比較復(fù)雜。但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題，就會顯得比較清楚，方法簡單，結(jié)果容易理解。
解 此題可以轉(zhuǎn)化為：將12個相同的白球分成8份，有多少種不同的分法問題，因此須把這12個白球排成一排，在11個空檔中放上7個相同的黑球，每個空檔最多放一個，即可將白球分成8份，顯然有種不同的放法，所以名額分配方案有種。
結(jié)論3 轉(zhuǎn)化法：對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。
例4 袋中有5分硬幣23個，1角硬幣10個，如果從袋中取出2元錢，有多少種取法？
分析 此題是一個組合問題，若是直接考慮取錢的問題的話，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理出頭緒來。但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話，就會很容易解決問題。
解 把所有的硬幣全部取出來，將得到0.05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角，所以共有種取法。
結(jié)論4 剩余法：在組合問題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對應(yīng)的，因此，當(dāng)求取法困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求剩法。
例5 期中安排考試科目9門，語文要在數(shù)學(xué)之前考，有多少種不同的安排順序？
分析 對于任何一個排列問題，就其中的兩個元素來講的話，他們的排列順序只有兩種情況，并且在整個排列中，他們出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，因此要求其中的某一種情況，能夠得到全體，那么問題就可以解決了。并且也避免了問題的復(fù)雜性。
解 不加任何限制條件，整個排法有種，“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的，所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種。
結(jié)論5 對等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對等的，各占全體的二分之一。在求解中只要求出全體，就可以得到所求。
例6 我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種？
分析 此題若是直接去考慮的話，就要將問題分成好幾種情況，這樣解題的話，容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況。而如果從此問題相反的方面去考慮的話，不但容易理解，而且在計(jì)算中也是非常的簡便。這樣就可以簡化計(jì)算過程。
解 43人中任抽5人的方法有種，正副班長，團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種，所以正副班長，團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種。
結(jié)論6 排異法：有些問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中排除。
練習(xí)1 某人射擊8槍，命中4槍，那么命中的4槍中恰有3槍是連中的情形有幾種？
練習(xí)2 一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種？
練習(xí)3 馬路上有編號為1，2，3，……10的十只路燈，為節(jié)約電而不影響照明，可以把其中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉馬路兩端的燈，問滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？
練習(xí)4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少種？
練習(xí)5 某電路有5個串聯(lián)的電子元件，求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目？
小結(jié)：
解決排列組合應(yīng)用題的一些解題技巧，具體有插入法，捆綁法，轉(zhuǎn)化法，剩余法，對等法，排異法；對于不同的題目，根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來解決問題。對于一些比較復(fù)雜的問題，我們可以將幾種技巧結(jié)合起來應(yīng)用，便于我們迅速準(zhǔn)確地解題。在這些技巧中所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，例如：分類討論思想，變換思想，特殊化思想等等，要在應(yīng)用中注意掌握。
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