一. 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念

二. 目標(biāo)

掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)的模

三. 考點分析

1. 復(fù)數(shù)及分類

形如 。

2. 復(fù)數(shù)相等的充要條件

。

3. 數(shù)集間的聯(lián)系：

4. 復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面上的點集和以原點為起點的向量集是一一對應(yīng)的，見圖。

注：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） 。

6. i的冪

與 互為共軛復(fù)數(shù)，且 ，

8. 的性質(zhì)

記 ，則 ， 。

【典型例題】

例1. 當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)解：（1）z為實數(shù)，則虛部即

解得m=2

∴ m=2時，z為實數(shù)

（2）z為虛數(shù)，則虛部即

解得 且

∴當(dāng) 時，Z為虛數(shù)

（3）z為純虛數(shù)

解得∴ 當(dāng)

例2. 求同時滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z：

（1）解：設(shè)

是實數(shù)，且

∴ 或 *

當(dāng)b=0時，*化為 時，*化為 ∴

∴ 相應(yīng)的 （舍），

因此，復(fù)數(shù)z為：

例3. 已知復(fù)數(shù)z滿足解：設(shè) ①

∵

依題意得

由③得

（1）當(dāng) 但 與②矛盾

∴ 時，由①得 ，求解：

， 。

，滿足

（1）若 。

（2）若 ，求 的取值范圍。

是一個實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，因此必共軛，

可設(shè) ，則<7" >

由 得

即：

∵ 或

∴ ，

∴

由于 且 ，可解得 ，

令 ，

在

【模擬】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1. “ ”是“ B. D. 的結(jié)果為（ ）

A.

4. 若 ，則z對應(yīng)的點的軌跡是（ ）

A. 圓 B. 兩點 C. 線段 D. 直線

5. 復(fù)數(shù) ，且 的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7. 計算： _________

8. 若 ，則 ＝ 。

9. ，且 ____________

三、解答題（本大題共4題，共50分）

11. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程 ，且 為純虛數(shù)，求z。

13. 若復(fù)數(shù)z滿足 ，求 的最大、最小值。

14. 若復(fù)數(shù)z滿足 ，求證：

【試題答案

1. A

提示：若 為共軛復(fù)數(shù)，則 ，但若 ， ，但 與 不能互為共軛復(fù)數(shù)，因此應(yīng)選A。

2. C

提示：由

或

這里用到了 的周期性結(jié)論。

4. A

提示：設(shè)

即 （由

提示：注意利用 簡化運算

8.

提示：設(shè)

則有 聯(lián)立得

即

11. 解析 原方程化簡為 ），代入上述方程得 解得

∴原方程的解是

，則

化簡，得 表示點 到原點O（0，0）的距離，而點（x，y）在圓C上

由平面幾何，可知z的最大值為

解法二：利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)

解這個關(guān)于 的不等式，得

當(dāng) 代入

得

當(dāng) 時， 取最大值 時， 取最小值

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