仙游一中2015-2016學(xué)年度上學(xué)期期中考 高三理科數(shù)學(xué)試題 滿分150分,答卷時間120分鐘一：選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.選項(xiàng)填在答題卷上。1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 （ ）A、 B、 C、 D、2．下列命題錯誤的是 ( )A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則、均為假命題 C．命題：存在,使得，則：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要條件3. 下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是 A． B． C． D．4. 設(shè)函數(shù)，其中是非零向量，則 “函數(shù)的圖像是一條直線”的充分條件是( ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4為第3項(xiàng)，4為第5項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，是以為第3 項(xiàng)，9為第6項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形是（ ） A. 銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形6．（）的圖象如右圖所示，為了得到的圖像，可以將的圖像（ ）A．個單位長度 B．個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7. 以下命題：①若則； 在方向上的投影為；若△中, 則；若量的夾角為鈍角.則其中真命題的個數(shù)是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知數(shù)列是等差數(shù)列,若它的前n項(xiàng)和有最大值,且,則使成立的最大自然數(shù)n的值為( ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函數(shù)當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)，有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10.直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圖像的極大值點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過切點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則=（ ）A. 2 B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)>(－)，則n＝__________.是公差不為0的等差數(shù)列, ，且成等比數(shù)列,則的值為 .13. 已知，設(shè)，則由函數(shù)的圖象與 軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為 . 14. 定義在R上的函數(shù)滿足：，且對于任意的,都有＜，則不等式＞的解集為 。15. 設(shè)，其中.若對一切恒成立，則; ② ；③ 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④ 的單調(diào)遞增區(qū)間是；⑤ 存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象不相交．以上結(jié)論正確的是__________________（寫出所有正確結(jié)論的編號）的前n項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17、（本小題滿分13分）滿足，對任意都有，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，角，的始邊為軸的非負(fù)半軸，點(diǎn)在角的終邊上，點(diǎn)在角的終邊上，且. （1）求； （2）求的坐標(biāo)并求的值. 19.（本小題滿分1分）(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；(2)因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計一點(diǎn)P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．20．（本小題滿分1分）已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.（）求實(shí)數(shù)的值； （）求在區(qū)間上的最大值；（）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由. 有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．（1）(本小題滿分7分)選修4—2：矩陣與變換有一個屬于特征值的特征向量，①求矩陣；②已知矩陣，點(diǎn)，，，求在矩陣的對應(yīng)變換作用下所得到的的面積．(2) (本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 過P（2，0）作傾斜角為的直線與曲線E：（θ為參數(shù)）交于A，B兩點(diǎn)．的參數(shù)方程；（Ⅱ）求的取值范圍．已知正實(shí)數(shù)、、滿足條件，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求的最大值．仙游一中2015-2016學(xué)年度上學(xué)期期中考高三理科數(shù)學(xué)試題參考答案 滿分150分,答卷時間120分鐘一：選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.選項(xiàng)填在答題卷上。1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 （ A ）A、 B、 C、 D、2．下列命題錯誤的是 ( B )A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則、均為假命題 C．命題：存在,使得，則：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要條件3. 下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是 A． B． C． D．4. 設(shè)函數(shù)，其中是非零向量，則 “函數(shù)的圖像是一條直線”的充分條件是( C ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4為第3項(xiàng)，4為第5項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，是以為第3 項(xiàng)，9為第6項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形是（ A ） A. 銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形6．（）的圖象如右圖所示，為了得到的圖像，可以將的圖像（ C ）A．個單位長度 B．個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7. 以下命題：①若則； 在方向上的投影為；若△中, 則；若量的夾角為鈍角.則其中真命題的個數(shù)是( C ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知數(shù)列是等差數(shù)列,若它的前n項(xiàng)和有最大值,且,則使成立的最大自然數(shù)n的值為( B ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函數(shù)當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)，有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ A ）A. B. C. D. 10.直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圖像的極大值點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過切點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則=（ D ）A. 2 B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，則n＝__________.－1或2是公差不為0的等差數(shù)列, ，且成等比數(shù)列,則的值為 .413. 已知，設(shè)，則由函數(shù)的圖象與 軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為 . 14. 定義在R上的函數(shù)滿足：，且對于任意的,都有＜，則不等式＞的解集為 （0,2） 。15. 設(shè)，其中.若對一切恒成立，則; ② ；③ 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④ 的單調(diào)遞增區(qū)間是；⑤ 存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象不相交．以上結(jié)論正確的是________②③__________（寫出所有正確結(jié)論的編號）的前n項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.解：(1)又當(dāng)時 ∴， ∴數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為 ，∴………………….6分（2）=，∴…………….13分17、（本小題滿分13分）滿足，對任意都有，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由． 17、解：（1）由及 ∴ ………………1分又對任意，有∴圖像的對稱軸為直線，則，∴ ………………3分又對任意都有，即對任意成立，∴，故 ………………6分∴ ………………7分（2）由（1）知 ，其定義域?yàn)椤�………�?分令要使函數(shù)在上為減函數(shù)，只需函數(shù)在上為增函數(shù)， ………………10分由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得 ………………12分故存在實(shí)數(shù)時，函數(shù)在上為減函數(shù)………………13分18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，角，的始邊為軸的非負(fù)半軸，點(diǎn)在角的終邊上，點(diǎn)在角的終邊上，且. （1）求； （2）求的坐標(biāo)并求的值.【解析】（1） ， ， ………… ∴ ， . …………6分 （2）由（1）得：， …………7分 ,∴ …………8分 ∴ ，， ，，，，………… ∴ …………13分 19.（本小題滿分1分）(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；(2)因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計一點(diǎn)P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．19、解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝60°.S四邊形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(萬平方米)．…………………………………………3分在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cos∠ABC∴R＝(萬米)……………………7分(2)∵S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD?CD?sin120°＝2，設(shè)AP＝x，CP＝y(tǒng).則S△APC＝xy?sin60°＝xy. ……………………………9分又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號……………………11分∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，∴最大面積為9萬平方米．………………………………13分20．（本小題滿分1分）已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.（）求實(shí)數(shù)的值； （）求在區(qū)間上的最大值；（）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q福建省仙游一中2015-2016學(xué)年度高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題
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