2013屆高考數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征復(fù)習(xí)課件和復(fù)習(xí)題

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 10-9 隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布(理)但因?yàn)闇y(cè)試 新人教B版

一、
1.(2011•煙臺(tái)模擬)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=(  )
A.12+p B.12-p
C.1-2p D.1-p
[答案] B
[解析] ∵ξ~N(0,1),
∴P(ξ<-1)=P(ξ>1)=p,
∴P(-1<ξ<0)=12[1-2p(ξ>1)]=12-p.
2.(2011•衢州模擬)已知隨機(jī)變量X+η=8,若X~B(10,0.6),則Eη,Dη分別是(  )
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
[答案] B
[解析] ∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,
∴E(η)=8-E(X)=2,D(η)=(-1)2D(X)=2.4.
3.(2011•鹽城、浙江溫州模擬)某人射擊一次擊中的概率為35,經(jīng)過3次射擊,此 人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為(  )
A.81125 B.54125
C.36125 D.27125
[答案] A
[解析] 該人3次射擊,恰有兩次擊中目標(biāo)的概率是
P1=C23•(35)2•25,
三次全部擊中目標(biāo)的概率是P2=C33•(35)3,
所 以此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率是
P=P1+P2= C23•(35) 2•25+C33•(35)3=81125.
4.(2011•福州調(diào)研)已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,則a的值為(  )
ξ4a9
P0.50.1b
A.5 B.6
C.7 D.8
[答案] C
[解析] 由0.5+0.1+b=1知,b=0.4,
由E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3知,a=7,故選C.
5.(2011•湘潭模擬)設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A-,且P(A)=p,令隨機(jī)變量X=1 A出現(xiàn)0 A不出現(xiàn),則X的方差D(X)等于(  )
A.p B.2p(1-p)
C.-p(1-p) D.p(1-p)
[答案] D
[解析] X服從兩點(diǎn)分布,故D(X)=p(1-p).
6.(2011•浙江五校聯(lián)考)設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=59,則P(η≥2)的值為(  )
A.3281 B.1127
C.6581 D.1681
[答案] B
[解析] 由P(ξ≥1)=59,得C12p(1-p)+C22p2=59,
即9p2-18p+5=0,解得p=13或p=53(舍去),
∴P(η≥2)=C24p2(1-p)2+C34p3(1-p)+C44p4
=6×(13)2×(23)2+4×(13)3×23+(13)4=1127.
7.(2011•濱州模擬)有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中任取3件,若ξ表示取到次品的件數(shù),則E(ξ)=________.
[答案] 34
[解析] 分布列如下:
ξ0123
PC312C316
C14C212C316
C24C112C316
C34C316

∴E(ξ)=0×C312C316+1×C14C212C316+2×C24C112C316+3×C34C316=34.
8.如果ξ~B(100,12),當(dāng)P(ξ=k)取得最大值時(shí),k=________.
[答案] 50
[解析] P(ξ=k)=Ck10012k•12100-k
=Ck10012100,由組合數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)k=50時(shí)取到最大值.
9.(2011•龍巖月考)袋中有3個(gè)黑球,1個(gè)紅球.從中任取2個(gè),取到一個(gè)黑球得0分,取到一個(gè)紅球得2分,則所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=________
[答案] 1
[解析] P(ξ=0)=C23C24=12,P(ξ=2)=C13•C11C24=12,
∴E(ξ)=0×12+2×12=1.
10.(2010•東理)某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問題,規(guī)則如下:
①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分,答對(duì)問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分,答錯(cuò)任一題減2分;
②每回答一題,計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí),答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí),答題結(jié)束,淘 汰出局;
③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束.
假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問題A、B、C、D回答正確的概率依次為34,12,13,14,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;
(2)用ξ表示 甲 同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).
[解析] 設(shè)A、B、C、D分別表示甲同學(xué)能正確回答第一、二、三、四個(gè)問題的事件,A-、B-、C-、D-分別為A、B、C、D的對(duì)立事件(例如A-表示甲同學(xué)第一題回答錯(cuò)誤).
由題設(shè)條件知,P(A)=34,P(B)=12,P(C)=13,P(D)=14,P(A-)=14,P(B-)=12,P(C-)=23,P(D-)=34.
(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件W,則由題設(shè)條件知W=ABC+ABC-D+AB-CD+A-BCD+A-BC-D,
∵A、B、C、D各事件相互獨(dú)立,
∴P(W)=P(A)•P(B)•P(C)+P(A)•P(B)•P(C-)•P(D)+P(A)•P(B-)•P(C)•P(D)+P(A-)•P(B)•P(C)•P(D)+P(A-)•P(B)•P(C-)•P(D)
=34×12×13+34×12×23×14+34×12×13×14+14×12×13×14+14×12×23×14=14.
(2)由題意知,ξ的可能取值為2、3、4,則
P(ξ=2)=P(A-B-)=P(A-)•P(B-)=14×12=18,
P(ξ=3)=P(ABC+AB-C-)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B-)P(C-)=34×12×13+34×12×23=38.
P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-18-38=12,
∴ξ的分布列為
ξ234
P(ξ)18
38
12

∴E(ξ)=2×18+3×38+4×12=278.

11.(2011•廣東廣州二模)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則a的值等于(  )
A.73 B.53
C.5 D.3
[答案] A
[解析] 已知ξ~N(3,4),所以μ=3,
又因?yàn)镻(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),
所以2a-3+a+22=3,解得a=73.
12.(2011•溫州十校聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X~N(3,22),若X=2η+3,則D(η)等于(  )
A.0    B.1    
C.2    D.4
[答案] B
[解析] 由X=2η+3,得D(X)=4D(η),而D(X)=22=4,∴D(η)=1.
13.(2011•廣州模擬)一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4 顆子彈,射擊停止后尚余子彈的數(shù)目X的期望值為(  )
A.2.44 B.3.376
C.2.376 D.2.4
[答案] C
[解析] X的取值為3,2,1,0,
P(X=3)=0.6
P(X=2)=0.4×0.6=0.24
P(X=1)=0.42×0.6=0.096
P(X=0)=0.43×0.6+0.44=0.064
∴E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.
14.(2011•北京豐臺(tái)模擬)某程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該程考核“合格”.若甲,乙,丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7;在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有影響.
(1)求甲,乙,丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(2)求這三個(gè)人該程考核都合格的概率(結(jié) 果保留三位小數(shù)).
[解析] 設(shè)“甲理論考核合格”為事件A1,“乙理論考核合格”為事件A2,“丙理論考核合格”為事件A3,A-i為Ai的對(duì)立事件,i=1,2,3.
設(shè)“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B1,“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B2,“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件 B3.
(1)設(shè)“理論考核中至少有兩人合格”為事件C,
P(C)=P(A1A2A3∪A1A2A-3∪A1A-2A3∪A-1A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A2A-3)+P(A1A-2A3)+P(A-1A2A3)
=0.9×0.8×0.7+0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.902.
(2)設(shè)“三個(gè)人該程考核都合格”為事件D.
P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)]
=P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)
=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)
=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.
所以,這三個(gè)人該程考核都合格的概率為0.254.
15.設(shè)兩球隊(duì)A、B進(jìn)行友誼比賽,在每局比賽中A隊(duì)獲勝的概率都是p(0≤p≤1).
(1)若比賽6局,且p=23,求其中A隊(duì)至多獲勝4局的概率是多少?
(2)若比賽6局,求A隊(duì)恰好獲勝3局的概率的最大值是多少?
(3)若采用“五局三勝”制,求A隊(duì)獲勝時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
[解析] (1)設(shè)“比賽6局,A隊(duì)至多獲勝4局”為事件A,
則P(A)=1-[P6(5)+P6(6)]
=1-C562351-23+C66236=1-256729=473729.
∴A隊(duì)至多獲勝4局的概率為473729.
(2)設(shè)“若比賽6局,A隊(duì)恰好獲勝3局”為事件B,則P(B)=C36p3(1-p)3.
當(dāng)p=0或p=1時(shí),顯然有P(B)=0.
當(dāng)0<p<1時(shí),P(B)=C36p3(1-p)3=20•[p(1-p)]3≤20•p+1-p223=20•126=516
當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p,即p=12時(shí)取等號(hào).
故A隊(duì)恰好獲勝3局的概率的最大值是516.
(3)若采用“五局三勝”制,A隊(duì)獲勝時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)ξ=3,4,5.
P(ξ=3)=p3,
P(ξ=4)=C23p3(1-p)=3p3(1-p)
P(ξ=5)=C24p3(1-p)2=6p3(1-p)2,
所以ξ的分布列為:
ξ345
Pp33p3(1-p)6p3(1-p)2
E(ξ)=3p3(10p2-24p+15).
[點(diǎn)評(píng)] 本題第(3)問容易出錯(cuò),“五局三勝制”不一定比滿五局,不是“五局中勝三局”.A隊(duì)獲勝包括:比賽三局,A隊(duì)全勝;比賽四局,A隊(duì)前三局中勝兩局,第四局勝;比賽五局,前四局中勝兩局,第五局勝,共三種情況.

1.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從分布P(ξ=k)=k15,(k=1,2,3,4,5),E(3ξ-1)=,E(ξ2)=n,則-n=(  )
A.- 319 B.7
C.83 D.-5
[答案] D
[解析] E(ξ)=1×115+2×215+3×315+4×415+5×515=113,∴E(3ξ-1)=3E(ξ)-1=10,
又E(ξ2) =12×115+22×215+32×315+42×415+52×515=15,∴-n=-5.
2.(2010•東理)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)=(  )
A.0.477 B.0.628
C.0.9 54 D.0.977
[答案] C
[分析] 若ξ~N(μ,σ2),則μ為其均值,圖象關(guān)于x=μ對(duì)稱,σ為其標(biāo)準(zhǔn)差.
[解析] ∵P(ξ>2)=0.023,∴P(ξ<-2)=0.023,
故P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.954.故選C.
[點(diǎn)評(píng)] 考查其對(duì)稱性是考查正態(tài)分布的主要方式.
3.某次國(guó)際象棋比賽規(guī)定,勝一局得3分,平一局得1分,負(fù)一局得0分,某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a,平局的概率為b,負(fù)的概率為c(a,b,c∈[0,1)),已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1,則ab的最大值為(  )
A.13 B.12
C.112 D.16
[答案] C
[解析] 由條件知,3a+b=1,∴ab=13(3a)•b≤13•3a+b22=112,等號(hào)在3a=b=12,即a=16,b=12時(shí)成立.
4.(2011•鹽城模擬)袋中有相同的5個(gè)球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)黃球,現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地摸球,每次摸1個(gè),當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí),即停止摸球,記隨機(jī)變量ξ為此時(shí)已摸球的次數(shù),求:
(1)隨機(jī)變量ξ的概率分布列;
(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差.
[解析] (1)隨機(jī)變量ξ可取的值為2,3,4,
P(ξ=2)=C12C13C12C15C14=35;
P(ξ=3)=A22C13+A23C12C15C14C13=310;
P(ξ=4)=A33C12C15C14C13C12=110;
所以隨機(jī)變量ξ的概率分布列為:
ξ 234
P35
310
110

(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望
E(ξ)=2•35+3•310+4•110=52;
隨機(jī)變量ξ的方差
D(ξ)=(2-52)2•35+(3-52)2•310+(4-52)2•110=920.




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