珠海市2012年9月高三摸底考試科數學試題

一、：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1．設全集 ，集合 則集合 =
A． B． C． D．

2． 已知實數 滿足 的最大值為
A．—3 B．—2 C．1 D．2

3．函數 ， ，其中 ，則
． 均為偶函數　　　　 ． 均為奇函數
． 為偶函數 ， 為奇函數 ． 為奇函數 ， 為偶函數

4． 如圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是
A．36B．108
C．72 D．180

5．已知 為不重合的兩個平面，直線 那么“ ”是“ ”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

6．設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2且 ，若直線PA的方程為 ，則直線PB的方程是
A. B. C. D.
7.高考資網已知 均為單位向量，它們的夾角為60°，那么， 等于
A. B. C. D. 4
8． 要得到函數 的圖象，只要將函數 的圖象
A．向左平移 單位 B．向右平移 單位
C．向左平移 單位 D．向右平移 單位

9．對１００只小白鼠進行某種激素試驗，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠對激素的敏感情況統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表
雄性雌性總計
敏感５０２５７５
不敏感１０１５２５
總計６０４０１００

則下列說法正確的是：
A．在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為“對激素敏感與性別有關”；
B．在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為“對激素敏感與性別無關”；
C．有 以上的把握認為“對激素敏感與性別有關”；
D．有 以上的把握認為“對激素敏感與性別無關”；

10．設 為全集，對集合 ，定義運算“ ”，滿足 ，則對于任意集合 ，則
A． B．
C． D．
二、題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置.
11．在△ABC中， ，則 .
12. 已知雙曲線 的離心率為 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為______；漸近線方程為_______.
13. 不等式 的解集是 .

14．（坐標系與參數方程選做題）
在極坐標系中，圓 的圓心到直線 的距離是_____________.

15．（幾何證明選講選做題）

如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC于F，則

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）已知函數 .
(1)求 的定義域；(2)設 是第二象限的角，且tan = ，求 的值.

17．（本小題滿分12分）
一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，根據下列條件求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率：
(1) 標簽的選取是無放回的； (2) 標簽的選取是有放回的．

18.（本小題滿分14分）
如圖1,在直角梯形 中, , , .將 沿 折起,使平面 平面 ,得到幾何體 ,如圖2所示.
(1) 求證: 平面 ；(2) 求幾何體 的體積.

19.（本小題滿分14分）
已知，圓C： ，直線 ： .
(1) 當a為何值時，直線 與圓C相切；
(2) 當直線 與圓C相交于A、B兩點，且 時，求直線 的方程.

20.（本小題滿分14分）
對于函數
(1)判斷函數的單調性并證明； (2)是否存在實數a使函數f (x)為奇函數？并說明理由。

21.（本小題滿分14分）
已知 ，點 在函數 的圖象上，其中
（1）證明：數列 是等比數列；
（2）設數列 的前 項積為 ，求 及數列 的通項公式；
（3）已知 是 與 的等差中項，數列 的前 項和為 ，求證： ．

珠海市2012年9月高三摸底考試
科數學試題與參考答案
一、：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1．設全集 ，集合 則集合 =（ ）B
A． B．
C． D．
2． 已知實數 滿足 的最大值為（ ）C
A．—3B．—2C．1D．2

3．函數 ， ，其中 ，則（ ）
． 均為偶函數　　　　 ． 均為奇函數
． 為偶函數 ， 為奇函數 ． 為奇函數 ， 為偶函數

4． 如圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是（ ）B
A．36B．108
C．72 D．180
5．已知 為不重合的兩個平面，直線 那么“ ”是“ ”的（ ）A
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2且 。若直線PA的方程為 ，則直線PB的方程是（ ）B
A. B. C. D.
7.高考資網已知 均為單位向量，它們的夾角為60°，那么， 等于（ ）C
A. B. C. D. 4
8． 要得到函數 的圖象，只要將函數 的圖象( ) D
A．向左平移 單位 B．向右平移 單位
C．向左平移 單位 D．向右平移 單位
9．對１００只小白鼠進行某種激素試驗，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠對激素的敏感情況統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表
雄性雌性總計
敏感５０２５７５
不敏感１０１５２５
總計６０４０１００

則下列說法正確的是：（ ）C
A．在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為“對激素敏感與性別有關”；
B．在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為“對激素敏感與性別無關”；
C．有 以上的把握認為“對激素敏感與性別有關”；
D．有 以上的把握認為“對激素敏感與性別無關”；
10．設 為全集，對集合 ，定義運算“ ”，滿足 ，則對于任意集合 ，則 （ ） D
A． B． C． D．

二、題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置.
11．在△ABC中， ，則 . 1/5

12. 已知雙曲線 的離心率為 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為______；漸近線方程為_______. ，
13. 不等式 的解集是 .（-1，3）

14．（坐標系與參數方程選做題）
在極坐標系中，圓 的圓心到直線 的距離是_____________;1
15．（幾何證明選講選做題）

如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC于F，則 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數 。
(1)求 的定義域；(2)設 是第二象限的角，且tan = ，求 的值.
16．解：(1)由 得 （k∈Z), …3分
故 的定義域為｛x ,k∈Z｝…5分
(2)由 = ,得 ，而
且α是第二象限的角, 解得 = , = ,…9分
故 = = = = .…12分

17．（本小題滿分12分）
一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，根據下列條件求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率：
(1) 標簽的選取是無放回的；
(2) 標簽的選取是有放回的．
17．解： (1) 無放回地從4張標簽隨機地選取兩張標簽的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}， {2，3}，{2，4}， {3，4}，總數為2×6個 ……3分
兩張標簽上的數字為相鄰整數基本事件為{1，2}，{2，3}，{3，4}總數為2×3個 ……5分
∴P= ； ……6分
(2) 有放回地從4張標簽隨機地選取兩張標簽的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}， {2，3}，{2，4}， {3，4}，和（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），總數為2×6+4=16個……9分
兩張標簽上的數字為相鄰整數基本事件為{1，2}，{2，3}，{3，4}總數為2×3個 ……11分
P= ……12分

18.（本小題滿分14分）
如圖1,在直角梯形 中, , , .將 沿 折起,使平面 平面 ,得到幾何體 ,如圖2所示.
(1) 求證: 平面 ；
(2) 求幾何體 的體積.

18． 解:（Ⅰ）在圖1中,可得 ,從而 ,故
取 中點 連結 ,則 ,又面 面 ,
面 面 , 面 ,從而 平面 , ……4分
∴
又 , ,
∴ 平面 ……8分
另解:在圖1中,可得 ,從而 ,故
∵面ACD 面 ,面ACD 面 , 面 ,從而 平面
(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知 為三棱錐 的高. ， ……11分
所以 ……13分
由等積性可知幾何體 的體積為 ……14分

19.（本小題滿分14分）
已知，圓C： ，直線 ： .
(1) 當a為何值時，直線 與圓C相切；
(2) 當直線 與圓C相交于A、B兩點，且 時，求直線 的方程.
19．解：將圓C的方程 配方得標準方程為 ，則此圓的圓心為（0 , 4），半徑為2. ……………………………2分
(1) 若直線 與圓C相切，則有 . ……………………………………………4分
解得 . ……………………………………………………………………………………………………6分
(2) 解法一：過圓心C作CD⊥AB， ………7分
則根據題意和圓的性質，得
　　……………………………………………………………………………10分
解得 . ………………………………………………………………………………………………12分
（解法二：聯(lián)立方程 并消去 ，得
.
設此方程的兩根分別為 、 ，則用 即可求出a.）
∴直線 的方程是 和 .　………………………………………14分

20.（本小題滿分14分）
對于函數
(1)判斷函數的單調性并證明；
(2)是否存在實數a使函數f (x)為奇函數？并說明理由。
20．解：(1)函數f (x)的定義域是R ……2分
證明：設x1 < x2 ；
f (x1) ? f (x2) = a- -( a- )=
當 x1<x2 得 < 0
得f (x1) ? f (x2) < 0所以f (x1) < f (x2)
故此時函數f (x)在R上是單調增函數； ……6分

當 x1<x2 得 0
得f (x1) ? f (x2) 0所以f (x1) f (x2)
故此時函數f (x)在R上是單調減函數 ……10分
注：用求導法也可證明。
(2) f (x)的定義域是R，
由 ，求得 . …11分
當 時， ， ，
滿足條件 ，故 時函數f (x)為奇函數 …14分
21.（本小題滿分14分）
已知 ，點 在函數 的圖象上，其中
（1）證明：數列 是等比數列；
（2）設數列 的前 項積為 ，求 及數列 的通項公式；
（3）已知 是 與 的等差中項，數列 的前 項和為 ，求證： ．
21．解：（1）證明：由已知 ，∴ …2分
∵ ，兩邊取對數，得 …4分
∴ 是等比數列，公比為2，首項為 …5分
（2）由（1）得 ，∴ …6分

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/34278.html

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