2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽四川初賽試題
一、單項選擇題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分)
1、設(shè)集合 , ,則 =( )
A、 B、 C、 D 、
2、正方體 中 與截面 所成的角是( )
A、 B、 C、 D、
3、已知 , ,則“ ”是“ 在 上恒成立”的( )
A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
4、設(shè)正三角形 的面積為 ,作 的內(nèi)切圓,再作內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形,設(shè)為 ,面積為 ,如此下去作一系列的正三角形 ,其面積相應(yīng)為 ,設(shè) , ,則 =( )
A 、 B 、 C、 D 、2
5、設(shè)拋物線 的焦點為 ,頂點為 , 是拋物線上的動點,則 的最大值為( )
A 、 B 、 C、 D 、
6、設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形,在此容器內(nèi)注入水,并放入半徑為 的一個實心球,此時球與容器壁及水面恰好都相切,則取出球后水面高為( )
A、 B、 C、 D、
二、填空題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分)
7、如圖,正方形 的邊長為3, 為 的中點, 與 相交于 ,則 的值是
8、 的展開式中的常數(shù)項是 .(用具體數(shù)字作答)
9、設(shè)等比數(shù)列 的前 項和為 ,滿足 ,則 的值為 .
10、不超過2012的只有三個正因數(shù)的正整數(shù)個數(shù)為 .
11、已知銳角 滿足 ,則 的最大值是 .
12、從1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中,任取一個五位數(shù) ,滿足條件“ ”的概率是 .
三、解答題(本大題共4個小題,每小題20分,共80分)
13、設(shè)函數(shù) ,
(I)求函數(shù) 在 上的最大值與最小值;
(II)若實數(shù) 使得 對任意 恒成立,求 的值.
14、已知 ,滿足 ,
(I)求 的最小值;
(II)當(dāng) 取最小值時,求 的最大值.
15、直線 與雙曲線 的左支交于 、 兩點,直線 經(jīng)過點 和
的中點,求直線 在 軸的截距 的取值范圍.
16、設(shè)函數(shù) 在 上的最大值為 ( ).
(I)求數(shù)列 的通項公式;
(II)求證:對任何正整數(shù) ,都有 成立;
(III)設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ,求證:對任意正整數(shù) ,都有 成立.
參考解答
一、選擇題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分)
7、 8、 9、0 10、14 11、 12、
三、解答題(本大題共4個小題,每小題20分,共80分)
13、解:(I)由條件知 , (5分)
由 知, ,于是
所以 時, 有最小值 ;
當(dāng) 時, 有最大值 . (10分)
(II)由條件可知
對任意的 恒成立,
∴
∴
∴ , (15分)
由 知 或 。
若 時,則由 知 ,這與 矛盾!
若 ,則 (舍去), ,
解得 ,所以, . (20分)
14、解:(I)因為 (5分)
,等號成立的條件是 ,
當(dāng) 時, 可取最小值2. (10分)
(II)當(dāng) 取最小值時, ,從而 ,
即 ,令 ,則 (15分)
從而 或者 (舍去)
故 在 單減,
所以在 時, 有最大值 . (20分)
15、解:將直線 與雙曲線 方程聯(lián)立得
化簡得 ① 。5分)
由題設(shè)知方程①有兩負(fù)根,因此 ,解得 .(10分)
設(shè) ,則有 ,
故 的中點為 ,
所以直線 方程為 ,其在 軸的截距 ,(15分)
當(dāng) 時, ,其取值范圍是
所以 的取值范圍是 . (20分)
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