2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 6-4 數(shù)列的綜合問題與數(shù)列的應(yīng)用但因為測試 新人教B版

1.()(2011•德州模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，且4a1、2a2、a3成等差數(shù)列，則S4＝(　　)
A．7　　　　B．8　　　　
C．15　　　　D．16
[答案]　C
[解析]　∵4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，
∴4a2＝4a1＋a3，
∵{an}是等比數(shù)列，a1＝1，
∴4q＝4＋q2，解之得，q＝2，
∴S4＝1×24－12－1＝15.
(理)(2011•丹東模擬)已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，其公比q≠1，且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，則(　　)
A．a(chǎn)6>b6　　　 B．a(chǎn)6＝b6
C．a(chǎn)6<b6 D．a(chǎn)6>b6或a6<b6
[答案]　A
[解析]　由條件知，a6＝a1＋a112＝b1＋b112>b1b11＝b6.
2．(2011•淄博模擬)已知{an}是遞增 數(shù)列，且對任意 n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　)
A．(－72，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
[答案]　C
[解析]　an＝n2＋λn＝(n＋λ2)2－λ24，
∵對任意n∈N*，an＋1>an，
∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故選C.
3．()(2011•福建質(zhì)檢)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3a5＝ 4，則數(shù)列{log2an}的前7項和等于(　　)
A．7 B．8
C．27 D．28
[答案]　A
[解析]　在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，由a3a5＝4，得a24＝4，a4＝2.
設(shè)bn＝log2an，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b4＝log2a4＝1.
所以{bn}的前7項和S7＝7b1＋b72＝7b4＝7.
(理)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{1fn}(n∈N*)的前n項和是(　　)
A.nn＋1 B.n＋2n＋1
C.nn－1 D.n＋1n
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝x－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.
4．()(2011•西運城教學(xué)檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，過點P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直線的斜率為3n－2，則a2＋a4＋a5＋a9的值等于(　　)
A．52 B．40
C．26 D．20
[答案]　B
[解析]　由題意得Sn＋1－Snn＋1－n＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此數(shù)列{an}是等差 數(shù)列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故選B.
(理)兩個正數(shù)a、b的等差中項是72，一個等比中項是23，且a<b，則雙曲線x2a2－y2b2＝1的離心率e等于(　　)
A.34 B.152
C.54 D.53
[答案]　D
[解析]　∵a＋b＝7，a•b＝12，b>a>0，
∴a＝3，b＝4.∴e＝ca＝a2＋b2a＝53.
5．(2011•江西新余四中期末)在△ABC中，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA是角A、B、C成等差數(shù)列的(　　)
A．充分非必要條件 B．充要條件
C． 必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件
[答案]　A[:學(xué)#科#網(wǎng)]
[解析]　sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝12⇒B＝π3⇒A＋C＝2B⇒A、B、C成等差數(shù)列．但當(dāng)A、B、C成等差數(shù)列時，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA不一定成立，如A＝π2、B＝π3、C＝π6.故是充分非必要條件．故選A.
6．()(2011•哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21＝S4000，O為坐標(biāo)原點，點P(1，an)，點Q(2011，a2011)，則OP→•OQ→＝(　　)
A．2011 B．－2011
C．0 D．1
[答案]　A
[解析]　由S21＝S4000得到Sn關(guān)于n＝21＋40002＝2010.5對稱，故Sn的最大(或最小)值＝S2010＝S2011 ，故a2011＝0，OP→•OQ→＝2011＋an•a2011＝2011＋an×0＝2011，故選A.
(理)(2011•北京西城期末)已知各項均不為零的數(shù)列{an}，定義向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.則下列命題中為真命題的是(　　)
A．若對于任意n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列
B．若對于任意n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
C．若對于任意n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列
D．若對于任意n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
[答案]　A
[解析]　若對任意n∈N*，有cn∥bn，則ann＝an＋1n＋1＝an＋2n＋2，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
7．()(2010•浙江杭州)如圖，是一個算法的程序框圖，該算法輸出的結(jié)果是(　　)

A.12 B.23
C.34 D.45
[答案]　C
[解析]　循環(huán)過程為i＝1<4→i＝2，＝1，n＝11×2；
i＝2<4→i＝3，＝2，n＝11×2＋12×3；
i＝3<4→i＝4，＝3，n＝11×2＋12×3＋13×4；
i＝4<4不成立，輸出n的值．
故n＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34.
(理)(2010•北京延慶縣�？�)某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是(　　)

A．4　　　　B．5　　　　
C．6　　　　D．7
[答案]　D
[解析]　由程序框圖可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，
∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，結(jié)合語句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，當(dāng)k＝6時，S＝127，k的值再增加1后輸出k值為7.
[點評]　這是最容易出錯的地方，解這類題時，既要考慮等比數(shù)列求和，在k取何值時，恰滿足S≥100，又要顧及S與k的賦值語句的先后順序．
8．()(2011•臨沂模擬)數(shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，則{an＋bn}的前20項和為(　　)
A．700 B．710
C．720 D．730
[答案]　C
[解析]　∵{an}與{bn}均為等差數(shù)列，
∴{an＋bn}為等差數(shù)列，首項a1＋b1＝12，
又a20＋b20＝60，
∴前20項和為S20＝20×12＋602＝720.
(理)(2010•湖北質(zhì)檢)若數(shù)列{an}滿足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{1xn}為調(diào)和數(shù)列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x5＋x16＝________.
[答案]　20
[解析]　由題意，若{an}為調(diào)和數(shù)列，則{1an}為等差數(shù)列，∵{1xn}為調(diào)和數(shù)列，∴數(shù)列{xn}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.
9．()(2011•濰坊模擬)已知等比數(shù)列中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列{1bnbn＋1}的前n項和Sn＝________.
[答案]　nn＋1
[解析]　∵a4＝a1q3，∴81＝3q3，∴q＝3，
∴an＝3n，∴bn＝log3an＝n，
令cn＝1bnbn＋1，則cn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
∴{cn}的前n項和Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝nn＋1.
(理)(2011•杭州二檢)已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常數(shù)α、β，使得an＝logαbn＋β對每一個正整數(shù)n都成立，則αβ＝________.
[答案]　4
[解析]　設(shè){an} 的公差為d，{bn}的公比為q，則2＋d＝q22＋3d＝q2，解得q＝2d＝0(舍去)或q＝4d＝2，所以an＝2n，bn＝4n－1.若an＝logαbn＋β對每一個正整數(shù)n都成立，則滿足2n＝logα4n－1＋β，即2n＝(n－1)logα4＋β，因此只有當(dāng)α＝2，β＝2時上式恒成立，所以αβ＝4.
10．()(2011•江蘇鎮(zhèn)江市質(zhì)檢)已知1，x1，x2,7成等差數(shù)列，1，y1，y2,8成等比數(shù)列，點(x1，y1)，N(x2，y2)，則線段N的中垂線方程是________．
[答案]　x＋y－7＝0
[解析]　由條件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，
∴N的中點(4,3)，kN＝1，∴N的中垂線方程為y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.
(理)(2010•哈爾濱模擬)已知雙曲線an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦點在y軸上，一條漸近線方程是y＝2x，其中數(shù)列{an}是以4為首項的正項數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是________．
[答案]　an＝2n＋1
[解析 ]　雙曲線方程為y2an－x2an－1＝1，∵焦點在y軸上，又漸近線方程為y＝2x，∴anan－1＝2，
又a1＝4，∴an＝4×2n－1＝2n＋1.

11.在圓x2＋y2＝10x內(nèi)，過點(5,3)有n條長度成等差數(shù)列的弦，最短弦長為數(shù)列{an}的首項a1，最長弦長為an，若公差d∈(13，23]，那么n的取值集合為(　　)
A．{4,5,6} B．{6,7,8,9}
C．{3,4,5} D．{3,4,5,6}
[答案]　A
[解析]　∵圓x2＋y2＝10x，∴(x－5)2＋y2＝5，圓心為(5,0)，半徑為5.故最長弦長an＝10，最短弦長a1＝8，∴10＝8＋(n－1)d，∴d＝2n－1，
∵d∈(13，23]，∴13<2n－1≤23，∴4≤n<7，
又∵n∈N*，∴n的取值為4,5,6，故選A.
12．()(2011•安徽百校論壇聯(lián)考)已知a>0，b>0，A為a，b的等差中項，正數(shù)G為a，b的等比中項，則ab與AG的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)b＝AG B．a(chǎn)b≥AG
C．a(chǎn)b≤AG D．不能確定
[答案]　C
[解析]　由條件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝a＋b2≥ab＝G>0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故選C.
[點評]　在知識交匯點處命題是常見命題方式，不等式與數(shù)列交匯的題目要特別注意等差(等比)數(shù)列的公式及性質(zhì)的運用．
(理)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P＝12(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5a3＋a92，P與Q的大小關(guān)系是(　　)
A．P≥Q B．P<Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案]　D
[解析]　P＝log0.5a5a7＝log0.5a3a9，Q＝log0.5a3＋a92，
∵q≠1，∴a3≠a9，∴a3＋a92>a3a9
又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上遞減，
∴l(xiāng)og0.5a3＋a92<log0.5a3a9，即Q<P.故選D.
13．()(2011•南昌一模)小王每月除去所有日常開支，大約結(jié)余a元．小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假設(shè)一年期零存整取的月利 率為r，每期存款按單利計息．那么，小王存款到期利息為_____元．
[答案]　78ar
[解析]　依題意得，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝1212＋12ar＝78ar元．
(理)(2011•湖北荊門調(diào)研)秋末冬初，流感盛行，荊門市某醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療流感的人數(shù)共有________人．
[答案]　255
[解析]　∵an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，∴n為奇數(shù)時，an＋2＝an，n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項為常數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．
故這30天入院治療流感人數(shù)共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．
14．()(2011•江蘇，13)設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_____．
[答案]　33
[解析]　∵a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，且a1＝1，
∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，
∵a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，
∴a4＝a2＋1，a6＝a2＋2，
∵a2≥1，q＝a3≥a2≥1，
∴q2＝a5≥a4＝a2＋1≥2，q3＝a7≥a6＝a2＋2≥3，
∵q≥1，∴q≥2且q≥33，∴q≥33，
∴q的最小值為33.
(理)(2011•福州市期末、河北冀州期末)已知實數(shù)a、b、c、d成等比數(shù)列，且函數(shù)y＝ln(x＋2)－x當(dāng)x＝b時取到極大值c，則ad等于________．
[答案]�。�1
[分析]　利用導(dǎo)數(shù)可求b、c，由a、b、c、d成等比數(shù)列可得ad＝bc.
[解析]　y′＝1x＋2－1，令y′＝0得x＝－1，當(dāng)－2<x<－1時，y′>0，當(dāng)x>－1時，y′<0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1.
15．(2011•蚌埠質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項公式．
[解析]　(1)b1＝a2－a1＝1，當(dāng)n≥2時，
bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，
所以{bn}是以1為首項，－12為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，
當(dāng)n≥2時，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12
＝1＋231－－12n－2＝53－23－12n－1，
當(dāng)n＝1時，53－23－121－1＝1＝a1.
所以an＝53－23－12n－1(n∈N*)．
16．()(2011•焦作模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(1，12)，且點(n－1，ann2)(n∈N＋)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝an＋1－12an，若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：Sn<5.
[解析]　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(1，12)，
∴a＝12，f(x)＝(12)x.
又點(n－1，ann2)(n∈N＋)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上，從而ann2＝12n－1，即an＝n22n－1.
(2)由bn＝n＋122n－n22n＝2n＋12n得，
Sn＝32＋522＋…＋2n＋12n，
則12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，
兩式相減得：12Sn＝32＋2(122＋123＋…＋12n)－2n＋12n＋1，
∴Sn＝5－2n＋52n，∴Sn<5.
(理)(2011•東，20)等比數(shù)列{an}中，a1、a2、a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1、a2、a3中的任何兩個數(shù)不在下 表的同一列．

第一列第二列第三列
第一行3210
第二行6414
第三行9818
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n.
[解析]　(1)依次驗證知a1＝2，a2 ＝6，a3＝18時符合題意，∴an＝2•3n－1
(2)∵bn＝an＋(－1)nlnan＝2•3n－1＋(－1)nln(2•3n－1)＝2•3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3
∴S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n•2n]ln3
＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.

1．(2011•湖南六校聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a5＝19，S5＝55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率是(　　)
A．4 B.14
C．－4 D．－14
[答案]　A
[解析]　a1＋4d＝195a1＋5×42d＝55，∴a1＝3d＝4，∴kPQ＝4.
2．在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2,4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2,8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　
C．3　　　　D．4
[答案]　A
[解析]　由條件知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴S＝12×4×3－12×2×2－12(2＋4)×1＝1.
3．?dāng)?shù)列{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，若a1＝b1，a3＝b3，a7＝b5，則b11等于(　　)
A．a(chǎn)63 B．a(chǎn)36
C．a(chǎn)31 D．a(chǎn)13
[答案]　A
[解析]　設(shè)數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，則
a1＋2d＝a1q2a1＋6d＝a1q4，得d＝a14(q4－q2)．
∴a1＋a12(q4－q2)＝a1q2，
∵q≠1，∴q2＝2，d＝a12，于是b11＝a1q10＝32a1.
設(shè)32a1＝a1＋(n－ 1)•a12，則n＝63，∴b11＝a63.
4．(2011•黃岡月考)在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則a3a5的值是(　　)
A.1516 B.158
C.34 D.38
[答案]　C
[解析]　∵a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n，
∴a2a1＝a1＋1，∴a2＝2，；
∵a3a2＝a2－1，∴a3＝12；
∵a4a3＝a3＋1，∴a4＝3；
∵a5a4＝a4－1，∴a5＝23，∴a3a5＝34.
5．等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a4、a8成等比數(shù)列，則a1＋a4＋a8a2＋a5＋a9＝________.
[答案]　3740
[分析]　此類問題一般依據(jù)條件和等差(比)數(shù)列的通項(或前n項和)公式列方程求解．解方程時，注意等比數(shù)列的首項和公比都不能為0.
[解析]　∵a1、a4、a8成等比數(shù)列，∴a24＝a1•a8，
又{an}成等差數(shù)列，公差d，
∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a1＝9d≠0，
∴原式＝9d＋12d＋16d10d＋13d＋17d＝37d40d＝3740.
6．(2011•上饒市四校聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________．
[答案]�。�2
[解析]　若q＝1，則由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2⇒2na1＝(n＋1)a1＋(n＋2)a1⇒2n＝2n＋3矛盾，
∴q≠1，由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2可得2a11－qn1－q
＝a11－qn＋11－q＋a11－qn＋21－q⇒qn＋2＋qn＋1－2qn＝0
⇒q2＋q－2＝0(∵q≠1)，解得q＝－2.
7．(2011•天津市二十區(qū)縣聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，向量a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)滿足a⊥b，則S5S3＝________.
[答案]　317
[解析]　∵a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)滿足a⊥b，
∴a•b＝0，
∴4an－4－2Sn＝0，即Sn＝2an－2，
∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2)．
兩式相減得an＝2an－1，∴anan－1＝2.
由Sn＝2an－2(n∈N*)，得a1＝2.
∴{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n.
∴S5S3＝21－251－221－231－2＝317.
8．(2011•蘇州檢測)正整數(shù)按下列方法分組：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn，則An＋Bn＝________.
[答案]　2n3
[解析]　由題意知，前n組共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2個數(shù)，所以第n－1組的最后一個數(shù)為(n－1)2，第n組的第一個數(shù)為(n－1)2＋1，第n組共有2n－1個數(shù)，所以根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得
An＝[n－12＋1]＋[n－12＋2n－1]2(2n－1)＝[(n－1)2＋n](2n－1)，而Bn＝n3－(n－1)3，
所以An＋Bn＝2n3.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/47713.html

相關(guān)閱讀：2014高三數(shù)學(xué)一診模擬考試文科試題(含答案)