2014屆高三模擬試題
數(shù)學（理）試題
本試卷分為第I卷（）和第II卷（非）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：（本題共12個小題，每小題5分，共60分，在四個選項中，只有一項是符合要求的）
1.設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項和，，則的值為( )
A. B. C. D.
2、如果是二次函數(shù), 且的圖象開口向上,頂點坐標為（1,）, 那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
3、在中，，，是邊上的高，則的值等于（ ）
A．0B． C．4D．
4、已知數(shù)列為等比數(shù)列，且. ,則 =（ �。�
． . ． ．
5、已知等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的前8項和為（ ）
A. 127B. 255C. 511 D. 1023
6、已知函數(shù)（其中）的部分圖象如右圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象（ ）
A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位
C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位
7、函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A. 1B.2C. 3D.4
8、設(shè)集合，集合.若中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9、在△ABC所在平面上有三點P、Q、R，滿足
，則△PQR的面積與△ABC的面積之比為（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5
10、已知函數(shù)的圖象與直線交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為，則＋＋…＋的值為（ ）
A．－1 B． 1－log20132015 C．-log20132015 D．1
11、定義域為的偶函數(shù)滿足對，有，且當 時，
，若函數(shù)在上至少有三個零點，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
12、已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若方程，在區(qū)間上有四個不同的根，則＝（ ）
A．－12B．－8C．－4D．4
2015屆高三模擬試題
數(shù)學（理）試題
第Ⅱ卷 非選擇題 （共90分）
二、題（本題共4個小題，每小題5分，共20分. 把每小題的答案填在答題紙的相應(yīng)位置）
13、由曲線與直線所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是
14、在等比數(shù)列中，若
，則 。
15、在直角三角形中，，，點是斜邊上的一個三等分點，則 ．
16、設(shè)，其中. 若對一切恒成立，則 ① ； ② ； ③ 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
④ 的單調(diào)遞增區(qū)間是；
⑤ 存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交．
以上結(jié)論正確的是__________________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．
三、解答題（共6個題， 共70分，把每題的答案填在答卷紙的相應(yīng)位置）
17、（本題10分）
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．求：
（1）求sin A的值； （2）求三角函數(shù)式的取值范圍．
18、（本題12分）
數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足：an＝＋＋＋…＋，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(3)令cn＝(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
19、（本題12分）
在△ABC中，，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，。
�。�1）求BC的長；
�。�2）求△DBC的面積。
20、（本題12分）
已知且，函數(shù)，，記
�。�1）求函數(shù)的定義域及其零點；
�。�2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實數(shù)的取值范圍.
21、（本題12分）
已知函數(shù)
�。�1）求函數(shù)在點處的切線方程；
�。�2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
�。�3）若存在，使得是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.
22、（本題12分）
設(shè)函數(shù)
(I) 若x=2是函數(shù)f(x)的極值點，1和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求。
(II) 若對任意, 都存在(e 為自然對數(shù)的底數(shù))，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。
2015屆高三模擬試題
數(shù)學（理）試題答案
7、
8、【答案】B
【解析】，因為函數(shù)的對稱軸為，，根據(jù)對稱性可知要使中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，所以有且，即，所以。即，選B.
10、【解析】函數(shù)的導數(shù)為，所以在處的切線斜率為，所以切線斜率為，令得，所以
，所以
，
選A.
11、【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，
即，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，又，所以，即函數(shù)的周期是4.由得，，令，當時，，過定點.由圖象可知當時，不成立.所以.因為，所以要使函數(shù)在上至少有三個零點，則有，即，所以，即，所以，即的取值范圍是，選B。
12【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[−2，0]上也是增函數(shù). 如圖2所示，那么方程(>0)在區(qū)間[−8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4，由對稱性知，即x1+x2 = −12，同理：x3+x4 = 4，所以x1+x2+x3+x4 = −12+4 = −8.選B.
二、題
13、 14、 15、 16. ①②③
三、解答題
17、解：（I）∵，∴，根據(jù)正弦定理，得，
又，
，，，又；sinA= 5分
（II）原式，
，
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是．。。。。。。10分
∴Hn＝。
∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn＝＋. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分
19、
。。。。。。。（8分）
。。。。。。（12分）
方法（二）：也可做輔助線，過點D作DE∥AB。
20、解：（1）（且）
，解得，所以函數(shù)的定義域為
令，則……（*）方程變?yōu)?br />，，即
解得，……4分
經(jīng)檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，所以函數(shù)的零點為.。。。。。6分
（2）（）
，
設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，當時，此時，，所以。①若，則，方程有解；②若，則，方程有解。。。。。12分
21. ⑴因為函數(shù)，
所以，，…………………………………………2分
又因為，所以函數(shù)在點處的切線方程為． …………4分
⑵由⑴，．
因為當時，總有在上是增函數(shù)，
又，所以不等式的解集為，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．………………………………………………8分
⑶因為存在，使得成立，
而當時，，
所以只要即可．
又因為，，的變化情況如下表所示：
減函數(shù) 極小值 增函數(shù)
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當時，的最小值
，的最大值為和中的最大值．
因為，
令，因為，
所以在上是增函數(shù)．
而，故當時，，即；
當時，，即．
所以，當時，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當時，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．
綜上可知，所求的取值范圍為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22、（Ⅰ），∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，
由解得. ………2分
∴,，
令，，得； 令得，
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.……4分
故函數(shù)至多有兩個零點，其中，
因為，
，所以，故．……6分
（Ⅱ）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上單調(diào)遞增，，………9分
�、佼敚磿r，，即，在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.
�、诋�，即時，，
若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,
∴存在，使得，符合題意.
若，則，∴在(1，e)上一定存在實數(shù)，使得，∴在(1，)上恒成立，即恒成立， 在(1，)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.
綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立.…………12分
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