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高三數(shù)學(xué)練習(xí)題及答案:基本不等式

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

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  1.若xy>0,則對(duì)xy+yx說(shuō)法正確的是()

  A.有最大值-2B.有最小值2

  C.無(wú)最大值和最小值D.無(wú)法確定

  答案:B

  2.設(shè)x,y滿(mǎn)足x+y=40且x,y都是正整數(shù),則xy的最大值是()

  A.400B.100

  C.40D.20

  答案:A

  3.已知x≥2,則當(dāng)x=____時(shí),x+4x有最小值____.

  答案:24

  4.已知f(x)=12x+4x.

  (1)當(dāng)x>0時(shí),求f(x)的最小值;

  (2)當(dāng)x<0時(shí),求f(x)的最大值.

  解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.

  ∴12x+4x≥212x•4x=83.

  當(dāng)且僅當(dāng)12x=4x,即x=3時(shí)取最小值83,

  ∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)的最小值為83.

  (2)∵x<0,∴-x>0.

  則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83,

  當(dāng)且僅當(dāng)12-x=-4x時(shí),即x=-3時(shí)取等號(hào).

  ∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)的最大值為-83.

  一、選擇題

  1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()

  A.x+12xB.x2-1+1x2-1

  C.2x+2-xD.x(1-x)

  答案:C

  2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是()

  A.32-3B.-3

  C.62D.62-3

  解析:選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

  3.已知m、n∈R,mn=100,則m2+n2的最小值是()

  A.200B.100

  C.50D.20

  解析:選A.m2+n2≥2mn=200,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立.

  4.給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程:

  ①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2ba•ab=2;

 、凇選,y∈(0,+∞),∴l(xiāng)gx+lgy≥2lgx•lgy;

 、邸遖∈R,a≠0,∴4a+a≥24a•a=4;

  ④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

  其中正確的推導(dǎo)過(guò)程為()

  A.①②B.②③

  C.③④D.①④

  解析:選D.從基本不等式成立的條件考慮.

 、佟遖,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的條件,故①的推導(dǎo)過(guò)程正確;

 、陔m然x,y∈(0,+∞),但當(dāng)x∈(0,1)時(shí),lgx是負(fù)數(shù),y∈(0,1)時(shí),lgy是負(fù)數(shù),∴②的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的;

  ③∵a∈R,不符合基本不等式的條件,

  ∴4a+a≥24a•a=4是錯(cuò)誤的;

 、苡蓌y<0得xy,yx均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過(guò)程中將全體xy+yx提出負(fù)號(hào)后,(-xy)均變?yōu)檎龜?shù),符合基本不等式的條件,故④正確.

  5.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是()

  A.2B.22

  C.4D.5

  解析:選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=bab=1時(shí),等號(hào)成立,即a=b=1時(shí),不等式取得最小值4.

  6.已知x、y均為正數(shù),xy=8x+2y,則xy有()

  A.最大值64B.最大值164

  C.最小值64D.最小值164

  解析:選C.∵x、y均為正數(shù),

  ∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy,

  當(dāng)且僅當(dāng)8x=2y時(shí)等號(hào)成立.

  ∴xy≥64.

  二、填空題

  7.函數(shù)y=x+1x+1(x≥0)的最小值為_(kāi)_______.

  答案:1

  8.若x>0,y>0,且x+4y=1,則xy有最________值,其值為_(kāi)_______.

  解析:1=x+4y≥2x•4y=4xy,∴xy≤116.

  答案:大116

  9.(2010年高考山東卷)已知x,y∈R+,且滿(mǎn)足x3+y4=1,則xy的最大值為_(kāi)_______.

  解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.

  當(dāng)且僅當(dāng)x3=y4時(shí)取等號(hào).

  答案:3

  三、解答題

  10.(1)設(shè)x>-1,求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;

  (2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最值.

  解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.

  ∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

  ≥2x+1•4x+1+5=9,

  當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1,即x=1時(shí),取等號(hào).

  ∴x=1時(shí),函數(shù)的最小值是9.

  (2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

  =(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.

  ∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.

  當(dāng)且僅當(dāng)x-1=9x-1,即x=4時(shí)等號(hào)成立,

  ∴y有最小值8.

  11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證:(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.

  證明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,

  ∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,

  同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,

  以上三個(gè)不等式兩邊分別相乘得

  (1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

  當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

  12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元,中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元,池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁忽略不計(jì)).

  問(wèn):污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低.

  解:設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米,則寬為200x米.

  總造價(jià)f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

  =800×(x+225x)+12000

  ≥1600x•225x+12000

  =36000(元)

  當(dāng)且僅當(dāng)x=225x(x>0),

  即x=15時(shí)等號(hào)成立.


本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/1175289.html

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