屆高三上學期期末華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考理科數(shù)學命題學校：深圳中學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1．若集合，，則“”是“”的 A. 充要條件 B. 既不充分也不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 充分不必要條件2. 若，，，則A．B． C．D．3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A． B. C. D. 4．已知圓及以下３個函數(shù)：①；②；③其中圖像能等分圓面積的函數(shù)有A．個 B. 個 C. 個 D. 個 5. 展開式中的常數(shù)項為A． B． C． D． 6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A． B. C. D. 7. 已知數(shù)列滿足：對于任意的，則A． B. C. D. 8．點是平面內(nèi)的定點,點與點不同)的“對偶點”是指：點在射線上且厘米.若平面內(nèi)點在某不過點的直線上,則它們相應的“對偶點”在 A．一個過點的圓上 B．一個不過點的圓上C．一條過點的直線上 D．一條不過點的直線上110分二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高二年級抽取 名學生．10. 若向量，且與的夾角為則 . 11. 某幾何體的三視圖如圖所示,其中正（主）視圖與側（左）視圖的邊界均為直角三角形，俯視圖的邊界為直角梯形，則該幾何體的體積為 . 12. 已知直線過拋物線的焦點，直線與拋物線圍成的平面區(qū)域的面積為則______ ， . 13. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 . 選做題（請考生在以下兩小題中任選一題做答，若兩小題都做，則按第14題記分）.14．（幾何證明選做題） 如圖，過點作的外接圓的切線交的延長線 于點.若， ，則 . 15．在極坐標系中，點關于直線的對稱點的極坐標為 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．(本小題滿分12分)在中,三個內(nèi)角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設求的值.17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)其中是虛數(shù)單位．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響）． （1）求事件 “在一次試驗中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件 “在四次試驗中，至少有兩次得到虛數(shù)” 的概率；（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數(shù)分別為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.19. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列的前項和為記（1）若數(shù)列是首項與公差均為的等差數(shù)列， 求；（2）若且數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列，求證：對任意正整數(shù)，20. （本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；② (1) 求曲線的方程;(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.21. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍；（3）已知且函數(shù)在上是函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.屆高三上學期期末華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考 參考答案與評分標準理科數(shù)學 說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則．二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．題號12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由圖知在時取到最大值，且最小正周期滿足 故，.所以 或由逐個檢驗知4．【解析】圓關于原點對稱. 函數(shù)與函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱, 能等分圓面積；而是上的偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱，且當時不能等分圓面積5. 【解析】展開式中的通項為為常數(shù)項的充要條件是常數(shù)項6．【解析】 7. 【解析】 由數(shù)學歸納法可證明:當為大于的奇數(shù)時, ；當為正偶數(shù)時, 故8．【解析】過作與直線垂直的直線以為原點，直線為軸，單位為厘米，建立平面直角平面坐標系. 設直線,是直線上任意一點,它的“對偶點”為,則存在使得,即,又,消去,得.故在過點的圓上.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根據(jù)分層抽樣的方法步驟，按照一定比例抽取，樣本容量為，那么根據(jù)題意得：從高三一共可以抽取人數(shù)為：.10. 【解析】由與的夾角為知,11. 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐,根據(jù)“正側等高，正俯等長，側俯等寬”的規(guī)則，其體積為12. 【解析】拋物線的焦點為,知.13. 【解析】如圖,在,上均單調(diào)遞增, 由及知的取值范圍14. 【解析】由知 ，解得 由得，即15. 【解析】如圖，在極坐標系中，設關于直線的對稱點為則，且從而即三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．(本小題滿分12分)在中,三個內(nèi)角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設求的值.解： (1) …………………………………………2分 …………………………………………… 4分………………………………………………………6分(2)(解法一) ……………………… 7分 ………………………………………… 9分 ……………………………………………… 10分 , …………12分 (2)(解法二) ……………………… 7分 ………………………………………………………9分 ……………………………………………………… 10分 ,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分 ……10分 …11分 ………………………12分17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)其中是虛數(shù)單位．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響）． （1）求事件 “在一次試驗中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件 “在四次試驗中，至少有兩次得到虛數(shù)” 的概率；（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數(shù)分別為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望解：（1）， ……………………………………………………………2分 ………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以隨機變量的分布列為…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小. (1）證明：,分別為，的中點，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四邊形是正方形，.以為原點,分別以直線為軸, 軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設……………………………………7分,，，，，，, ,.，， 分別為，，的中點，，，,, …… ………分（解法一)設為平面的一個法向量，則,即，令，得.…… …………………10分設為平面的一個法向量,則,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一個法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一個法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. … …………14分（解法) 延長到使得連，，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，分別為，的中點平面，平面， 平面.………7分平面平面平面 ………分平面與平面所成銳二面角相等. … …10分平面平面平面的平面角. …12分… …………13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. … …………14分19. （本題滿分1廣東省華附、省實、廣雅、深中四校屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學理試題
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