山西大學(xué)附中高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（理）考試時間：120分鐘 滿分：150分 考查內(nèi)容：高中全部 一選擇題(共12小題。每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)，若，若，則 （ ）A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±22．將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（　　）A． 10種 B．20種 C． 36種 D．52種3．已知數(shù)據(jù)是市個普通職工的的年收入,設(shè)這個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，如果再加上比爾．蓋茨的的年收入（約900億元），則這個數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（ ）A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變gkstkB．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變。4．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項為，前項和為，則等于 （ ）A． B． C． D．5．已知函數(shù) 則( )A． B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)，若,則復(fù)數(shù)z的虛部為( ）A． B． C． D． 7．的三內(nèi)角所對邊的長分別為，設(shè)向量,．若使則角C的大小為 ( )A． B． C． D． 8．過拋物線焦點作直線交拋物線于兩點為坐標(biāo)原點，則為（）A． 銳角三角形 B． 直角三角形 C． 鈍角三角形 D．不確定9．在中，，，則的最小值是 （ ） A． B． C． D．A．2 B． 1 C．3 ．D． 11． 若實數(shù)滿足，則的最小值為 （ ） B．2 C． D．8 12．已知函數(shù)，若，且，則 （ ）A．2 B．4 C．8 D．隨值變化二． 填空題：(本大題共小題，每小題5分)13．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的直徑為2，則該幾何體的體積為．14．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為 ．15． 如圖，圓O：內(nèi)的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分）隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 ． 16．已知無窮數(shù)列具有如下性質(zhì):①為正整數(shù)；②對于任意的正整數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時,;當(dāng)為奇數(shù)時,．在數(shù)列中，若當(dāng)時，，當(dāng)時，（，），則首項可取數(shù)值的個數(shù)為 （用表示）．三．解答題：（共70分）17．（本題滿分12分）已知．（Ⅰ）求的最大值及取得最大值時的值；（Ⅱ）在中，角，，的對邊分別為若，，，求的面積．18．（本題滿分12分）某高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周、周三的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)周一周周根據(jù)上表：（Ⅰ）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周、周三都不滿座的概率；設(shè)周二各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（本題滿分12分）等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足 (如圖1)．將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié) (如圖2)．（Ⅰ）求證:平面在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由．gkstk20．（本題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓的上下頂點分別為，左、右頂點分別為,左、右焦點分別為原點到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值,并求出該定值．21．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．gkstk請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．2．（本題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 (t為參數(shù))， (為參數(shù))．（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線過曲線的左頂點且傾斜角為的直線交曲絨于兩點，求．gkstk23．（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若的最小值為3，求值；求不等式的解集．山大附中高三月考理科數(shù)學(xué)一．選擇題CABBB;DCCCA;DA二．填空題：13．；14．．；16．17、解:（Ⅰ）． …… 2分當(dāng)，即，時，函數(shù)取得最大值2．…… 4分（Ⅱ）由，得，∵，∴，解得． …… 6分因為，根據(jù)正弦定理，得， ……8分由余弦定理，有，則，解得，， ……10分故△ABC的面積． ……12分18．解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周二、周三都不講為事件A,ξ012345P故19．證明:(1)因為等邊△的邊長為3,且, 所以,． 在△中,, 由余弦定理得． 因為, 所以．……………3分折疊后有,因為二面角是直二面角,所以平面平面 ,又平面平面,平面,, 所以平面．………6分(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點,使直線與平面所成的角為． 如圖,作于點,連結(jié)、 ，由(1)有平面,而平面, 所以,又, 所以平面, 所以是直線與平面所成的角 , ………………………8分設(shè),則,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,滿足,符合題意 所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 ………12分解法2:由(1)的證明,可知,平面． 以為坐標(biāo)原點,以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖 ,設(shè), 則,, ,所以,,,所以 ,因為平面, 所以平面的一個法向量為 , ………………………9分因為直線與平面所成的角為, 所以,, 解得 ,即,滿足,符合題意,所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 ．………12分20解：（1）因為橢圓C的離心率e＝，則a＝2b，c＝b， 直線A2B2方程為 bx－ay－ab＝0，即bx－2by－2b2＝0．所以＝，解得b＝1．所以 a＝2，橢圓方程為＋y2＝1． ……………分（）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),設(shè)P(x0，y0), 直線PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－； 直線PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………10分解法一:設(shè)圓G的圓心為((－)，h),則r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2． OG2＝(－)2＋h2．OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h(huán)2＝．而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以O(shè)T2＝4，所以O(shè)T＝2,即線段OT的長度為定值2. ………………… 12分解法二:OM?ON＝(－)?＝,而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以O(shè)M?ON＝4．由切割線定理得OT2＝OM?ON＝4．所以O(shè)T＝2,即線段OT的長度為定值2. …… 1分21、解　(1)由題設(shè)易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間．因此，x＝1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)＝1.(2)滿足條件的x0不存在．證明如下：假設(shè)存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對任意x＞0成立，即對任意x＞0，有l(wèi)n x＜g(x0)＜ln x＋，(*)但對上述x0，取x1＝eg(x0)時，有l(wèi)n x1＝g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對任意x＞0成立．另一種證法如下：假設(shè)存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對任意的x＞0成立．由(1)知，g(x)的最小值為g(1)＝1，又g(x)＝ln x＋＞ln x，而x＞1時，ln x的值域為(0，＋∞)， x≥1時g(x)的值域為[1，＋∞)，從而可取一個x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1.即g(x1)－g(x0)≥1，故g(x1)－g(x0)≥1＞，與假設(shè)矛盾．∴不存在x1＞0，使g(x)－g(x0)＜對任意x＞0成立．22解：⑴曲線為圓心是，半徑是1的圓．曲線為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓．……4分⑵曲線的左頂點為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）將其代入曲線整理可得：，設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為，則所以. ……………………………10分23解：⑴因為因為,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故為所求.……………………4分⑵不等式即不等式 ， ①當(dāng)時，原不等式可化為即所以，當(dāng)時，原不等式成立.②當(dāng)時，原不等式可化為即所以，當(dāng)時，原不等式成立.③當(dāng)時，原不等式可化為即 由于時所以，當(dāng)時，原不等式成立.綜合①②③可知： 不等式的解集為……………………10分F2F1B2B1A2A1NOPGTyxM圖 2山西省山大附中屆高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題
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