橢圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，下面是數(shù)學(xué)網(wǎng)整理的橢圓能力提升同步檢測(cè)，請(qǐng)考生及時(shí)練習(xí)。
一、選擇題
2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()
(A)+=1 (B)+=1
(C)+y2=1 (D)+=1
3.(安康模擬)若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2+=1的離心率
是()
(A) (B) (C)或 (D)或
4.已知橢圓:+=1(0b0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若F1PF2=60,則橢圓的離心率為()
(A) (B) (C) (D)
6.(能力挑戰(zhàn)題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是()
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
二、填空題
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.
8.已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=400上一點(diǎn),且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是.
9.分別過(guò)橢圓+=1(a0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,則此橢圓的離心率的取值范圍是.
三、解答題
10.(西安模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.
(1)求曲線C的方程.
(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑作圓.
試問(wèn):該圓能否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若能,請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)直線l的方程,并證明你的結(jié)論;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
11.(渭南模擬)已知橢圓C:+=1(a0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y2=8x的焦點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,求直線l的方程.
12.(能力挑戰(zhàn)題)已知點(diǎn)P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程.
(2)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)K是軌跡C上異于A,B的任意一點(diǎn),KHx軸,H為垂足,延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
答案解析
1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b.
又a2=b2+c2,所以有b=c,a=c,得離心率e=.
2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.
知其半徑r=4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,a=2.
又e==,
c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
3.【解析】選C.因?yàn)閙是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2=16，所以m=4.當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線為橢圓x2+=1，離心率為，當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線為雙曲線x2-=1，離心率為，綜上選C.
4.【解析】選D.由題意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因?yàn)閨BF2|+|AF2|的最大值為5，所以|AB|的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)A(-c，)，B(-c，-)，代入橢圓方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，選D.
5.【解析】選B.由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-c,)或(-c,-),因?yàn)镕1PF2=60,那么=,2ac=b2,這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為.
6.【思路點(diǎn)撥】由于c=1,所以只需長(zhǎng)軸最小,即公共點(diǎn)P,使得|PF1|+|PF2|最小時(shí)的橢圓方程.
【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長(zhǎng)軸最小.
點(diǎn)F1(-1,0)關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為F(-3,2),
設(shè)點(diǎn)P為直線與橢圓的公共點(diǎn),
則2a=|PF1|+|PF2|=|PF|+|PF2||FF2|=2.
取等號(hào)時(shí)離心率取最大值,
此時(shí)橢圓方程為+=1.
7.【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a0).
∵e=,=.根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.
答案:+=1
8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因?yàn)閤3,故舍去),
又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16()2+25y2=400,
解得y=2,
=|F1F2|y=62=6.
答案:6
9.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是由l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,得到a,b,c間的關(guān)系,進(jìn)而求得離心率e的取值范圍.
【解析】由已知得交點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.
又點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,所以有c20,k2,②
則x1+x2=,x1x2=,代入①,得
(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,
k=2或k=-2,滿足②式.
所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.
11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為A(2,0),依題意可知a=2.
因?yàn)殡x心率e==,所以c=.
故b2=a2-c2=1,
所以橢圓C的方程為:+y2=1.
(2)直線l:y=kx+,
由
消去y可得(4k2+1)x2+
8kx+4=0,
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于P,Q,
所以=(8k)2-4(4k2+1)0,
解得|k|.
又x1+x2=,x1x2=,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)M(x0,y0),
因?yàn)榫�段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,
所以x0===-,
解得k=1或k=,
因?yàn)閨k|,所以k=1,
因此所求直線l:y=x+.
12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),
圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,
點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸2a=4,焦距2c=2,
則短半軸b===1,
橢圓方程為:+ y2=1.
(2)設(shè)K(x0,y0),則+=1.
∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,
Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上,即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上.
又A(-2,0),直線AQ的方程為y=(x+2).
令x=2,得D(2,).
又B(2,0),N為DB的中點(diǎn),N(2,).
=(x0,2y0),=(x0-2,).
=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,
,直線QN與以AB為直徑的圓O相切.
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