南京師范大學(xué)涂榮豹教授對(duì)江蘇2014年高考預(yù)測(cè)題
小題：
1．已知a，b是非零向量，且滿足，則a與b的夾角是（ ）
A． B． C． D．
2．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ）
A． B． C． D．
3．若鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊和最小邊長(zhǎng)度比為m，則m的范圍是 （ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)、、為平面，m、n、l為直線，則的一個(gè)充分條件是 （ ）
A． B．
C． D．
5．設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．設(shè)，則以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．設(shè)函數(shù)滿足，則方程的根的個(gè)數(shù)是（ ）
A．無(wú)窮個(gè) B．沒(méi)有或者有限個(gè) C．有限個(gè) D．沒(méi)有或者無(wú)窮個(gè)
8．今測(cè)得太陽(yáng)光線與水平面成角，一棵豎直生長(zhǎng)的雪松樹(shù)在水平地面上的影長(zhǎng)為10米，則雪松高度h的范圍是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知、均為銳角，且，則= .
10．過(guò)點(diǎn)且與曲線在點(diǎn)處的切線平行的直線方程是
.
11．已知，及，則= .
解：，則是R上的增函數(shù)，得
12．給定平面上的5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，由這些點(diǎn)連成4條線段，每點(diǎn)至少是一條線段的端點(diǎn)，任意三線段不共點(diǎn).不同的連結(jié)方式有 種.
解：圖中4種連結(jié)方式都滿足要求.
（圖中僅表示點(diǎn)、線間連結(jié)形式，不考
慮點(diǎn)的位置）.
情況（1），主要是中心點(diǎn)的選擇，
決定其連結(jié)方式有5種；
情況（2），可視為5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E的排列，但一種排列與其逆序排列是同一的，且兩者是一一對(duì)應(yīng)的，故該情況連結(jié)方式有（種）；
情況（3），首先是分歧點(diǎn)的選擇有5種，其次是分叉的兩點(diǎn)的選擇有（種），最后是余下并連兩點(diǎn)的順序有別，有2！種，共計(jì)（種）；
情況（4），選擇3點(diǎn)構(gòu)造三角形，有（種）.
總計(jì)有（種）連結(jié)方式.
大題：
1．已知向量
求函數(shù)的最大值、最小正周期，并寫出在上的單調(diào)區(qū)間。
解：
所以的最大值為，最小正周期，在上遞增，在上遞減。
2．中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且
（I）的值；
（II）設(shè)，求的值.
解：（I）由，得，由及正弦定理得于是
（II）由，得；由，得，即
由余弦定理，
得
可得。
3．某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x（件）的關(guān)系如右表。又知每生產(chǎn)一件正品贏利a元，每生產(chǎn)一件次品虧損元（）。
（I）將該廠日贏利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（II）為了獲得最大贏利，該廠的日產(chǎn)量定為多少件？（取）
x
1
2
3
4
…
98
p
…
1
解：（I）由題意可知
日產(chǎn)量x件中，正品件，次品px件，
日贏利額
（II）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即
因?yàn)�，故（�?2）時(shí)，T取最大值.
4．某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力逐年下降，若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)計(jì)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元。今年初該企業(yè)一次性投資600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤(rùn)為 萬(wàn)元（n為正整數(shù)）。
（I）設(shè)從今年起的前n年，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)的改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求、的表達(dá)式；
（II）以上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？
解：（I）依題設(shè)，
（II）
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，僅當(dāng)時(shí)，
答：至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)。
5．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，采用五局三勝制，即規(guī)定五局定勝負(fù)，先勝三局者獲勝，且比賽就此結(jié)束。現(xiàn)已知甲、乙兩隊(duì)每比賽一局，甲隊(duì)獲勝的概率是0.6，乙隊(duì)獲勝的概率是0.4,且每局比賽的勝負(fù)是相互獨(dú)立的，問(wèn)：
（I）甲隊(duì)比3：2獲勝的概率是多少？（II）乙隊(duì)獲勝的概率是多少？
解：（I）設(shè)甲隊(duì)以3：2獲勝的事件為A，則第五局甲必勝，前4局各勝2局，所以
（II）設(shè)乙隊(duì)獲勝的事件為B，則B包括3種情況：（1）3：0，乙勝；（2）3：1，
乙勝；（3）3：2，乙勝.
答：甲隊(duì)以3：2獲勝的概率是0.2201436；乙隊(duì)獲勝的概率是0.31744。
6．已知四棱錐的底面是直角梯形，底面ABCD，是PB的中點(diǎn).
（I）證明：平面平面PCD；
（II）求AC與PB所成的角；
（III）求平面AMC與平面BMC所成角的大小.
方法一：（I）證明：底面，
由三垂線定理得，則平面PAD，
平面平面PAD.
（II）解：過(guò)點(diǎn)B作，且，則是AC與PB所成的角.
與底面ABCD所成的角.
則
又
是等腰直角三角形，
則
與PB所成的角為
（III）解：作，垂足為N，連接BN.在直角中，又
得
則是所求二面角的平面角.
，得面PAC，
在直角中，，所以
在等腰中用等積變換，
則所求的二面角為
方法二：底面ABCD，構(gòu)成空間坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)是
（I）證明：，由得
由得則平面PAD.
所以平面平PAD.
（II）解：
所以AC與PB所成的角為
（III）解：在MC上取一點(diǎn)，則，
，要使，則需
即，解得由得，則N點(diǎn)坐標(biāo)為 從而為 所求二面角的平面角。
所以所求二面角為
7．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
（I）證明：；
（II）若E為AB中點(diǎn)，求E到面的距離；
（III）AE等于何值時(shí)，二面角的大小為
方法一
（I）證明：
（II）設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，由題設(shè)可得
算得
則
（III）過(guò)D作，垂足為H，連則
為二面角的平面角.
設(shè)，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，
因?yàn)橐陨细鞑讲讲娇赡�，所以�?dāng)時(shí)，二面角的 大小為
方法二：以DA，DC，DD1建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，有
（I）證明：因?yàn)�，所以�?/p>
（II）解：E是AB中點(diǎn)，有， 設(shè)平面的法向量為則也即，
得，從而，點(diǎn)E到平面的距離
（III）設(shè)平面的法向量為
由令，得
則于是
（不合，舍去），
即時(shí)，二面角的大小為
8．如圖，過(guò)拋線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).
（I）若點(diǎn)P為定點(diǎn)，求證為定值；
（II）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明；
（III）設(shè)直線AB的方程是，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓心的方程.
解：（1）設(shè)直線AB方程為，代入
得 ①。
設(shè)則是方程①的兩個(gè)根，
可得
因?yàn)镻點(diǎn)為定點(diǎn)時(shí),m是定值,
所以是定值.
（II）由題設(shè)有得點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
，
所以
（III）由，得點(diǎn)、由得
所以拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為
設(shè)過(guò)A、B的圓的方程是，
則
解得
圓的方程是，即
9．設(shè)直線，雙曲線，雙曲線E的離心率為與E交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且
（I）證明：
（II）求雙曲線E的方程；
（III）若點(diǎn)F是雙曲線E的右焦點(diǎn)，M、N是雙曲線上兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（I）雙曲線離心率
設(shè)直線l方程為由，及得①，
設(shè)，則是①的兩根，②.
即
③將②代入③得
即④.得證
（II）易知，
將代入 ②得⑤解④、⑤得
雙曲線E的方程為
（III）雙曲線E的右焦點(diǎn)F為
設(shè)，
.
把M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得
整理得，且
，得，
因此所求的范圍是
10．設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
且
（I）證明：；
（II）證明：；
（III）若函數(shù)，證明：當(dāng)且時(shí)，
解：（I）證明：是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的 兩個(gè)根.
，得
（II）證明：設(shè)，則， 由， 得，得
在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；，
故
（III）證明：是的兩個(gè)實(shí)根，
又
故
11．已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)�，�?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤?dāng)時(shí)，的值域?yàn)�，其中a，b為常數(shù)，
（I）時(shí)，求數(shù)列與的通項(xiàng)；
（II）設(shè)且，若數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值.
（III）若，設(shè)與的前n項(xiàng)和分別記為與，
求的值.
（I）解：函數(shù)在R上是增函數(shù)，
數(shù)列與都是公差為b的等差數(shù)列.
（II）解：；由是等比數(shù)列，知應(yīng)為常數(shù).
又是公比不為1的等比數(shù)列，則不是常數(shù)，必有
（III）解：兩式相減，
得
.
12．已知函數(shù)
（1）若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于1，求證：；
（2）若，則函數(shù)的函數(shù)的圖象上的任意的一點(diǎn)的切線的斜率為k，求證：是成立的充要條件。
解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)為，
且，則，即有
因?yàn)椋�，�?/p>
又因，所以，即故
（2）當(dāng)時(shí)，
由題意，得，即對(duì)于任意的等價(jià)于
；即，或者
解得故使成立的充要條件是
13．在中，若且的周長(zhǎng)為12.
（1）證明為直角三角形；
（2）求面積的最大可能值.
解：（1）由已知得，
即
又
故
則，即為直角三角形.
（2）設(shè)A、B、C分別對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c，依題意得
因?yàn)椋裕?/p>
即，
即
14．已知的面積為，且
（1）設(shè)，求向量與的夾角正切值的取值范圍.
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程.
（3）設(shè)為（2）中所求雙曲線的左焦點(diǎn)，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn),且,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.
解：（1）由得。又，則
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為，則，
又由
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)為或，
所求方程為
（3）設(shè)的方程為的方程為，則有…①，…②
…③，設(shè)，由①、②得
代入③得
的軌跡為集點(diǎn)在y軸上的橢圓.
15．已知直線與雙曲線有A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn).
（1）如果以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O，試求k的值；
（2）是否存在k，使得兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱？試述理由.
解：（1）設(shè)，則以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O的充要條件是，即…①
由消去y得 …②
將其代入①得，解得或
當(dāng)時(shí)，方程②為，有兩個(gè)不等實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，方程②為，有兩個(gè)不等實(shí)根.
故當(dāng)或時(shí)，以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O.
（2）若關(guān)于直線對(duì)稱，
則
將④整理得
因?yàn)樗�，解之，得這個(gè)結(jié)果與③矛盾.
故不存在這樣的k，使兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱.
16．已知雙曲線；拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，又C1的焦點(diǎn)是C2的左焦點(diǎn)F1.
（1）求證：C1與C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）是否存在過(guò)C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使有最大或最小值？若有，求出AB所在直線的方程與最值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1）
由消去y，得 ①
方程①有實(shí)根、
又，不妨設(shè)
當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，從而與總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
（2）假設(shè)符合條件的弦AB存在.
（i）當(dāng)直線斜率k存在時(shí)，易知設(shè)直線AB的方程為
由方程組，消去y，得
又原點(diǎn)到直線AB的距離為
（ii）當(dāng)直線斜率k不存在，即AB與x軸垂直時(shí)，有
面積的最小值為，此時(shí)直線AB的方程為
當(dāng)時(shí)，，因此，面積無(wú)最大值.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaokao/131392.html
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