數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一級(jí)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的分析，不妨先明確以下幾個(gè)問(wèn)題：

1．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)—左邊點(diǎn)表示的數(shù)。

2．點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎�方向，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b；向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。

3．?dāng)?shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。

例1．已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒。
⑴問(wèn)多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位？
⑵若乙的速度為6個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？
⑶在⑴⑵的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34

⑴設(shè)x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為—24+4x。
①甲在AB之間時(shí)，甲到A、B的距離和為AB=14
甲到C的距離為10—（—24+4x）=34—4x
依題意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之間時(shí)，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x
依題意，20+4x）=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。
⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒相遇。
依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—24+4×3.4=—10.4（或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。
①甲從A向右運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：—24+4×2—4y；乙表示的數(shù)為：10—6×2—6y
依題意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：—24+4×2—4y=—44（或：10—6×2—6y=—44）
②甲從A向右運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：—24+4×5—4y；乙表示的數(shù)為：10—6×5—6y
依題意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合題意，舍去）
即甲從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)2秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—44。

點(diǎn)評(píng)：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)，以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn)，向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)；向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn)動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。

例2．如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為—20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100。

⑴求AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)；
⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；
⑶若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

分析：⑴設(shè)AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，由BM=MA
所以x—（—20）=100—x，解得x=40即AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為40
⑵易知數(shù)軸上兩點(diǎn)AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇，
依題意有，4t+6t=120，解得t=12
（或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得—20+4t=100—6t，t=12）
相遇C點(diǎn)表示的數(shù)為：—20+4t=28（或100—6t=28）
⑶設(shè)運(yùn)動(dòng)y秒，P、Q在D點(diǎn)相遇，則此時(shí)P表示的數(shù)為100—6y，Q表示的數(shù)為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問(wèn)題。
依題意有，6y—4y=120，解得y=60
（或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得—20—4y=100—6y，y=60）
D點(diǎn)表示的數(shù)為：—20—4y=—260（或100—6y=—260）

點(diǎn)評(píng)：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題；⑶是一個(gè)同向而行的追及問(wèn)題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。

例3．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為—1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x。
⑴若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；
⑵數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5？若存在，請(qǐng)求出x的值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？
⑶當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？

分析：⑴如圖，若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，P為AB的中點(diǎn)，BP=PA。

依題意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)。
①P在點(diǎn)A左側(cè)，PA=—1—x，PB=3—x
依題意，（—1—x）+（3—x）=5，解得 x=—1.5
②P在點(diǎn)B右側(cè)，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依題意，（x+1）+（x—3）=5，解得 x=3.5
⑶點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè)，B可能追上并超過(guò)A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。
設(shè)運(yùn)動(dòng)t分鐘，此時(shí)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為—t，B對(duì)應(yīng)的數(shù)為3—20t，A對(duì)應(yīng)的數(shù)為—1—5t。
①B未追上A時(shí)，PA=PA，則P為AB中點(diǎn)。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。
PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t
依題意有，1+4t=3—19t，解得t=
<sub>②B追上A時(shí)，A、B重合，此時(shí)PA=PB。A、B表示同一個(gè)數(shù)。
依題意有，—1—5t=3—20t，解得 t=
即運(yùn)動(dòng)或分鐘時(shí)，P到A、B的距離相等。

點(diǎn)評(píng)：⑶中先找出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P、A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

例4．點(diǎn)A1、A2、A3、……An（n為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)A1在原點(diǎn)O的左邊，且A1O=1，點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右邊，且A2A1=2，點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊，且A3A2=3，點(diǎn)A4在點(diǎn)A3的右邊，且A4A3=4，……，依照上述規(guī)律點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為（）。
A．2008，—2009 B．—2008，2009C．1004，—1005 D．1004，—1004

分析：如圖，

點(diǎn)A1表示的數(shù)為—1；
點(diǎn)A2表示的數(shù)為—1+2=1；
點(diǎn)A3表示的數(shù)為—1+2—3=—2；
點(diǎn)A4表示的數(shù)為—1+2—3+4=2……
點(diǎn)A2008表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008=1004
點(diǎn)A2009表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

點(diǎn)評(píng)：數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b；向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時(shí)，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的方向變化。

練習(xí)題：
1．已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為—2，4，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x。
⑴若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。
⑵數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A、B距離和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
⑶若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)（P點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分鐘，則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)？
（參考答案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）
2．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0，第一步從K0向左跳一個(gè)單位到K1，第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2，第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3，第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4……按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的K100所表示的數(shù)恰是19.94。試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)表示的數(shù)。
（提示：設(shè)K0點(diǎn)表示的數(shù)為x，用含x的式子表示出K100所表示的數(shù)，建立方程，求得x=—30.06）</sub>