用命題形式給出一個數(shù)學問題,要判斷它是錯誤的，只要列舉一個滿足命題的條件，但結論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。
在初中教學中，反例的構建是教學中一種非常重要的教學手段和方式，反例教學有其極其重要的作用，它可以培養(yǎng)學生的思維的縝密性、提高思維的全面性、培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性以及思維的創(chuàng)新性等等。
一、實施反例教學要注意的問題
(一)注意反例教學的引入
根據(jù)學生年齡、生理及心理特征，以及所學知識結構的不完整性，有時還不具備獨立系統(tǒng)地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學過程中要注意反例教學引入的合理性和可行性。
(二)注意反例教學的構建
教師在進行教學時，不但要適當?shù)厥褂梅蠢�，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創(chuàng)設了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構建不是惟一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調動他們全部的數(shù)學功底，充分展開想象，因此，構建反例的過程也是學生思維發(fā)揮和訓練過程。
例如在講授《實數(shù)》一節(jié)時，我曾安排了這樣一個思考題:兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學生們馬上舉出幾個反例如 與- ；它們的和都等于零是有理數(shù)。這些反例的共同特征是:互為相反數(shù)的兩無理數(shù)和為有理數(shù)。
在此問題的基礎上，教師可以進一步地追問：兩個無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？兩個有理數(shù)的和或者積是否一定是有理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？
通過對這些問題作更多更深入的一些研究，這不僅可以培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，還可以加深對有理數(shù)、無理數(shù)概念的理解，弄清有理數(shù)和無理數(shù)之間的關系。
這一事例說明教師在日常教學中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學知識或問題，通過創(chuàng)設問題情景，引導學生構建反例，引導學生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵學生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高學生的思維能力。
(三)注意反例教學的逐層深入性
在教學時，反例的構建要根據(jù)學生的認知發(fā)展水平和已有的知識結構逐層深入地進行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題。
二、反例教學的重要作用
數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，解決數(shù)學問題的思維過程應是縝密的。教師可以把以往學生易犯的錯誤設置成反例，有針對性地培養(yǎng)學生思維的縝密性。
判斷：對于任意的自然數(shù)n，n2-n+11一定是質數(shù)。
對于反例的列舉，學生最容易想到的辦法的就是代入幾個特殊的數(shù)值進行計算。對于這一題，假如從第一個自然數(shù)0開始代入驗證，我們發(fā)現(xiàn)結論是正確的，以后繼續(xù)代入，一直到10結論也都是正確的。學生往往還沒有代到10就已認為結論是正確的了。因為對于代值驗證的問題，我們通常能代入3、5個值驗證都已經(jīng)很不錯了。這一題反例的構建需要從式子本生的角度去思考，通過對式子的觀察，大部分學生不難得出n=11時，n2-n+11就已經(jīng)不是質數(shù)了。
在此，常用的構造反例的特殊值法卻行不通了，因此反例構建的過程其實也是學生多角度思考問題的一個過程，注重反例教學的適當?shù)囊氩坏苁箤W生發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以修補相關知識，學會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。
反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學生創(chuàng)造力的一種很好的載體。
判斷：底面是正三角形，側面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐。
這個命題看起來，條件比較苛刻，似乎正確性不容懷疑，但是條件“側面是等腰三角形”并不等同于條件“側面是全等的等腰三角形”.如圖4，底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，這樣側面 ABD， ACD均是等腰直角三角形， DBC是等腰三角形，符合題設諸條件.顯然此棱錐不是正三棱錐。
在上述反例的探索過程中，學生在新的問題情景中，能享受到創(chuàng)造的樂趣，從而能激發(fā)起學習數(shù)學的興趣和刻苦鉆研數(shù)學問題的熱情和毅力，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)新性。
反例教學還是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的很好的一種教學方式。
在學完正多邊形以后，學生們都知道了正多邊形的一些性質，例如:正多邊形的所有的邊都相等，所有的內角都相等。為了加深對這一性質的理解，教師可以從反面進行鞏固。
判斷：(1)所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形，(2)所有角都相等的多邊形一定是正多邊形。
(1)和(2)都是錯誤的，例如菱形和矩形。這兩個反例學生都比較容易能想到。但是，除此之外，還有沒有其余的反例呢？教師還可以做進一步的提問。顯然這時難度就增加了。其實，所有邊都相等的多邊形都是正多邊形的反例有無數(shù)多個，例如我們可以先做一個正多邊形(不是正三角形)，利用這些正多邊形具有的不穩(wěn)定性，它們的內角在變化的過程中就會出現(xiàn)邊都保持相等，但是角度卻會出現(xiàn)不等的情形。對于所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，其實也是有無數(shù)個。
在這個問題中，后面的反例的列舉難度顯然增加了，然而學生卻可以通過此題更加加深對多邊形性質正反兩方面的理解，另外列舉反例的過程也是學生發(fā)散性思維充分發(fā)揮和展示的一個過程。
總之，數(shù)學反例是數(shù)學課堂教學中一個調節(jié)器，在數(shù)學教學中，適時地引進一些反例或適當?shù)匾龑W生構建反例，往往能使學生在認識上產(chǎn)生質的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則,培養(yǎng)他們思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性和全面性。
山西省霍州市第三中學 張小茹
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuzhong/1114642.html
相關閱讀：初中數(shù)學幾何證明題 如何尋找切入點？