35、（2013•呼和浩特）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F，
（1） 的值為　 　；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點(diǎn)，使得四邊形DEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．3718684
分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出；
（3）作D⊥AE于AB交于點(diǎn)，連接E、DP，易得出D∥EP，由已知條件證明△AD≌△BAE，進(jìn)而證明D=EP，四邊形DEP是平行四邊形即可證出．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE= = ，
∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ，
∴ = ，

（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB?BK=BC?BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）答：存在．
證明：作D⊥AE于AB交于點(diǎn)，
則有：D∥EP，連接E、DP，
∵在△AD與△BAE中，
，
∴△AD≌△BAE（AAS），
∴D=AE，
∵AE=EP，
∴D=EP，
∴D EP，
∴四邊形DEP為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．
　
36、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，?3），反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．
分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，?3），再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式；同理，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax+b中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），先由△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再將x的值代入y=? ，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，?3），
∴AB=5，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，?3）．
∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴?3=，解得k=?15，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=? ；
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，
∴ ，
解得 ，
∴一次函數(shù)的解析式為y=?x+2；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．
∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴×OA•x=52，
∴×2x=25，
解得x=±25．
當(dāng)x=25時(shí)，y=? =?；
當(dāng)x=?25時(shí)，y=? =．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（25，?）或（?25，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，難度適中．運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵．

37、（2013•資陽(yáng)）在一個(gè)邊長(zhǎng)為a（單位：c）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)作N⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)C重合，求證：DF=N；
（2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)，以1c/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以 c/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）；
①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說(shuō)明理由．
②連結(jié)F、FN，△NF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)：四邊形綜合題
分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=N；
（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時(shí)間t= a，進(jìn)而得到C= a= CD，所以該命題為真命題；
②若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．
解答：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF與△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=N．

（2）解：①該命題是真命題．
理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF= AB= CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ ，
∴AE= EC，則AE= AC= a，
∴t= = a．
則C=1•t= a= CD，
∴點(diǎn)為邊CD的三等分點(diǎn)．
②能．理由如下：
易證AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易證△ND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=C=t，AN=D=a?t．
若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=N，則由AN=D知△FAN≌△ND，
∴AF=D，即 =t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
（II）若FN=F，由N⊥DF知，HN=H，∴DN=D=C，
∴t= a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；
（III）若F=N，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如下圖所示：

易得△FC≌△ND，∴FC=D=a?t；
又由△ND∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．
∴ =a?t，
∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．
綜上所述，當(dāng)t=a或t= a時(shí)，△NF能夠成為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識(shí)點(diǎn)．解題要點(diǎn)是：（1）明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程；（2）明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解．

38、（2013杭州壓軸題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，設(shè)它們的面積和為S1．
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設(shè)四邊形CPF的面積為S2，CF=x， ．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱時(shí)，求y的值．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．
分析：（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論；
（2）本問(wèn)關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式．
①首先分別用x表示出S1與S2，然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式．這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最大值；
②注意中心對(duì)稱、軸對(duì)稱的幾何性質(zhì)．
解答：（1）證明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°?45°=135°；
而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對(duì)角線，則∠PCF=45°，
則∠CFP+∠FPC=180°?45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，則 ．
而在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，則AC= AB= ，
又∵P為對(duì)稱中心，則AP=CP= ，
∴AE= = =．
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G，

P為AC中點(diǎn)，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE= =×2×=，
∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對(duì)稱，
∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對(duì)稱，
則S四邊形AEPN=2S△APE= ；
而S2=2S△PFC=2× =2x，
∴S1=S正方形ABCD?S四邊形AEPN?S2=16? ?2x，
∴y= = = +?1．
∵E在AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，則y=?8a2+8a?1，當(dāng)a= =，即x=2時(shí)，y取得最大值．
而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y最大=4?2?1=1．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y= +?1（2≤x≤4），y的最大值為1．
②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，
而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對(duì)稱，
則EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x= ，
代入x= ，得y= ?2．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換（軸對(duì)稱與中心對(duì)稱）、圖形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，有一定的難度．本題重點(diǎn)與難點(diǎn)在于求出y與x的函數(shù)解析式，在計(jì)算幾何圖形面積時(shí)涉及大量的計(jì)算，需要細(xì)心計(jì)算避免出錯(cuò)．　

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/241700.html

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