2018年湖北省鄂州市五校中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(3分)4的平方根是( 。
A.2 B.?2 C.±2 D.±
2.(3分)李陽同學在“百度”搜索引擎中輸入“魅力襄陽”,能搜索到與之相關的結(jié)果個數(shù)約為236 000,這 個數(shù)用科學記數(shù)法表示為( 。
A.2.36×103 B.236×103 C.2.36×105 D.2.36×106
3.(3分)下列計算正確的是( 。
A.a(chǎn)3?a=a2 B.(?2a)2=4a2 C.x3•x?2=x?6 D.x6÷x2=x 3
4.(3分)下面幾何體中,其主視圖與俯視圖相同的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)若關于x的不等式組 有實數(shù)解,則a的取值范圍是( 。
A.a(chǎn)<4 B.a(chǎn)≤4 C.a(chǎn)>4 D.a(chǎn)≥4
6.(3分)如圖,已知直線a∥b,△ABC的頂點B在直線b上,∠C=90°,∠1=36°,則∠2的度數(shù)是( )
A.54° B.44° C.36 ° D.64°
7.(3分)如圖,正方形ABCD中,AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)分別從B,C兩點同時出發(fā),以1cm/s的速度沿BC,CD運動,到點C,D時停止運動,設運動時間為t(s),△OEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關系可用圖象表示為( )
A. B. C. D.
8.(3分)如圖,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,P為BC邊的中點,連接PM,PN,則下列結(jié)論:①PM=PN;② ;③△PMN為等邊三角形;④當∠ABC=45°時,BN= PC.其中正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
9.(3分)已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c,它與x軸的兩個交點分別為(?1,0),(3,0).對于下列命題:①b?2a=0;②abc>0;③a?2b+4c<0;④8a+c>0.其中正確的有( 。
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
10.(3分)如圖∠BAC=60°,半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切,P為⊙O上一動點,以P為圓心,PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點,連接DE,則線段DE長度的最大值為( 。
A.3 B.6 C. D.
二、填空題:(每小題3分)
11.(3分)分解因式:4x3?4x2y+xy2= 。
12.(3分)已知y= ,則xy的值為 .
13.(3分)某組數(shù)據(jù)按從小到大的順序如下:2、4、8、x、10、14,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 .
14.(3分)如圖,AB是⊙O直徑,CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD交⊙O于F,∠A=60°,AB=4,求陰影部分面積 .
15.(3分)如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于C,D兩點,分別過C,D兩點作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F(xiàn),連接CF,DE.有下列五個結(jié)論:
①△CEF與△DEF的面積相等; ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;④AC=BD; ⑤tan∠BAO=a
其中正確的結(jié)論是 。ò涯阏J為正確結(jié)論的序號都填上)
16.(3分)拋物線C1:y=x2?1(?1≤x≤1)與x軸交于A、B兩點,拋物線C2與拋物線C1關于點A中心對稱,拋物線C3與拋物線C1關于點B中心對稱.若直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點,則b的取值或取值范圍是 。
三、解答題:
17.(8分)先化簡,后求值:( ? )÷ ,其中x滿足x2?x?2=0.
18.(8分)如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,DF平分∠ADC交BC于F.求證:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)若BD⊥EF,則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形,請證明你的結(jié)論.
19.(8分)我校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字39個,比賽結(jié)束后隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分.
組別 正確數(shù)字x 人數(shù)
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,m= ,n= ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是 。
(3)有三位評委老師,每位老師在E組學生完成學校比賽后,出示“通過”或“淘汰”或“待定”的評定結(jié)果.學校規(guī)定:每位學生至少獲得兩位評委老師的“通過”才能代表學校參加鄂州市“漢字聽寫”比賽,請用樹形圖求出E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率.
20.(8分)已知關于x的二次函數(shù)y=x2?(2m+3)x+m2+2?
(1)若二次函數(shù)y的圖象與x軸有兩個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),且滿足x12+x22=31+|x1x2|,求實數(shù)m的值.
21.(9分)在一次數(shù)學活動課上,老師帶領學生測量一條南北流向的河的寬度,如圖所示,某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C,測得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行10米到達B處,測得C在B北偏西45°的方向上,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該同學計算出這條河的寬度.(精確到1米,參考數(shù)值:tan31°≈ ,sin31°≈ )
22.(9分)如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,若BC=9,tan∠CDA= ,求BE的長.
23.(10分)某景點試開放期間,團隊收費方案如下:不超過30人時,人均收費120元;超過30人且不超過m(30<m≤ 100)人時,每增加1人,人均收費降低1元;超過m 人時,人均 收費都按照m人時的標準.設景點接待有x名游客的某團隊,收取總費用為y元.
(1)求出y關于x的函數(shù)表達式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)景點工作人員發(fā)現(xiàn):當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費用隨著團隊總?cè)藬?shù)的增加而增加,求m的取值范圍.
24.(12分)如圖①、②,在平面直角坐標系中,一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合,現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點),按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置.
(1)求C′點的坐標;
(2)求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式;
(3)如圖③,⊙G是以AB為直徑的圓,過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F,求切線BF的解析式;
(4)在(3)的條件下,拋物線上是否存在一點M,使得△BOF與△AOM相似?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
2018年湖北省鄂州市五校中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(3分)4的平方根是( 。
A.2 B.?2 C.±2 D.±
【解答】解:4的平方根是±2.
故選:C.
2.(3分)李陽同學在“百度”搜索引擎中輸入“魅力襄陽”,能搜索到與之相關的結(jié)果個數(shù)約為236 000,這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為( )
A.2.36×103 B.236×103 C.2.36×105 D.2.36×106
【解答】解:236 000=2.36×105,
故選:C.
3.(3分)下列計算正確的是( 。
A.a(chǎn)3?a=a2 B.(?2a)2=4a2 C.x3•x?2=x?6 D.x6÷x2=x3
【解答】解:A、a3?a≠a2,故本選項錯誤;
B、(?2a)2=4a2,故本選項正確;
C、x3•x?2=x3?2=x,故本選項錯誤;
D、x6÷x2=x4,故本選項錯誤.
故選:B.
4.(3分)下面幾何體中,其主視圖與俯視圖相同的是( 。
A. B. C. D.
【解答】解:A、圓柱主視圖是矩形,俯視圖是圓;
B、圓錐主視圖是三角形,俯視圖是圓;
C、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形;
D、三棱柱的主視圖是矩形與俯視圖都是三角形;
故選:C.
5.(3分)若關于x的不等式組 有實數(shù)解,則a的取值范圍是( 。
A.a(chǎn)<4 B.a(chǎn)≤4 C.a(chǎn)>4 D.a(chǎn)≥4
【解答】解:解不等式2x>3x?3,得:x<3,
解不等式3x?a>5,得:x> ,
∵不 等式組有實數(shù)解,
∴ <3,
解得:a<4,
故選:A.
6.(3分)如圖,已知直線a∥b,△ABC的頂點B在直線b上,∠C=90°,∠1=36°,則∠2的度數(shù)是( 。
A.54° B.44° C.36° D.64°
【解答】解:過點C作CF∥a,
∵∠1=36°,
∴∠1=∠ACF=36°.
∵∠C=90°,
∴∠BCF=90°?36°=54°.
∵直線a∥b,
∴CF∥b,
∴∠2=∠BCF=54°.
故選:A.
7.(3分)如圖,正方形ABCD中,AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)分別從B,C兩點同時出發(fā),以1cm/s的速度沿BC,CD運動,到點C,D時停止運動,設運動時間為t(s),△OEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關系可用圖象表示為( 。
A. B. C. D.
【解答】解:根據(jù)題意BE=CF=t,CE=8?t,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,
∵在△OBE和△OCF中
,
∴△OBE≌△OCF(SAS),
∴S△OBE=S△OCF,
∴S四邊形OE CF=S△OBC= ×82=16,
∴S=S四邊形OECF?S△CEF=16? (8?t)•t= t2?4t+16= (t?4)2+8(0≤t≤8),
∴s(cm2)與t(s)的函數(shù)圖象為拋物線一部分,頂點為(4,8),自變量為0≤t≤8.
故選:B.
8.(3分)如圖,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,P為BC邊的中點,連接PM,PN,則下列結(jié)論:①PM=PN;② ;③△PMN為等邊三角形;④當∠ABC=45°時,BN= PC.其中正確的個數(shù)是( 。
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【解答】解:①∵BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,P為BC邊的中點,
∴PM= BC,PN= BC,
∴PM=PN,正確;
②在△ABM與△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴ ,正確;
③∵∠A=60°,BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM?180°?60°?30°×2=60°,
∵點P是BC的中點,BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等邊三角形,正確;
④當∠ABC=45°時,∵CN⊥AB于點N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P為BC邊的中點,
∴PN⊥BC,△BPN為等腰直角三角形
∴BN= PB= PC,正確.
故選:D.
9.(3分)已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c,它與x軸的兩個交點分別為(?1,0),(3,0).對于下列命題: ①b?2a=0;②abc>0;③a?2b+4c<0;④8a+c>0.其中正確的有( 。
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
【解答】解:根據(jù)圖象可得:拋物線開口向上,則a>0.拋物線與y交與負半軸,則c<0,
對稱軸:x=? >0,
①∵它與x軸的兩個交點分別為(?1,0),(3,0),
∴對稱軸是x=1,
∴? =1,
∴b+2a=0,
故①錯誤;
②∵a>0,
∴b<0,
∵c<0,
∴abc>0,故②正確;
③∵a?b+ c=0,
∴c=b?a,
∴a?2b+4c=a?2b+4(b?a)=2b?3a,
又由①得b=?2a,
∴a?2b+4c=?7a<0,
故③正確;
④根據(jù)圖示知,當x=4時,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=?2a,
∴8a+c>0;
故④正確;
綜上所述,正確的結(jié)論是:②③④共3個,
故選:A.
10.(3分)如圖∠BAC=60°,半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切,P為⊙O上一動點,以P為圓心,PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點,連接DE,則線段DE長度的最大值為( 。
A.3 B.6 C. D.
【解答】解:連接AO并延長,與ED交于F點,與圓O交于P點,此時線段ED最大,
連接OM,PD,可得F為ED的中點,
∵∠BAC=60°,AE=AD,
∴△AED為等邊三角形,
∴AF為角平分線,即∠FAD=30°,
在Rt△AOM中,OM=1,∠OAM=30°,
∴OA=2,
∴PD=PA=AO+OP=3,
在Rt△PDF中,∠FDP=30°,PD=3,
∴PF= ,
根據(jù)勾股定理得:FD= = ,
則DE=2FD=3 .
故選:D.
二、填空題:(每小題3分)
11.(3分)分解因式:4x3?4x2y+xy2= x(2x?y)2。
【解答】解:4x3?4x2y+xy2
=x(4x2?4xy+y2)
=x(2x?y)2.
故答案為:x(2x?y)2.
12.(3分)已知y= ,則xy的值為 。
【解答】根據(jù)題意得: ,
解得:x=3,則y=?2,
故xy=3?2= .
故答案是: .
13.(3分)某組數(shù)據(jù)按從小到大的順序如下:2、4、8、x、10、14,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 10。
【解答】解:由題意得,(8+x)÷2=9,
解得:x=10,
則這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是10,故眾數(shù)為10.
故答案為:10.
14.(3分)如圖,AB是⊙O直徑,CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD交⊙O于F,∠A=60°,AB=4,求陰影部分面積 3 ? π。
【解答】解:設AD交⊙O于F,
連接OE、OF、BF,如圖,
∵AB為⊙O直徑,AB=4,
∴OE= AB=2,∠AFB=90°,
∵∠A=60°,
∴AF= AB=2,BF= AF=2 ,
∵根據(jù)圓周角定理得:∠BOF=2∠A=120°,
∴∠AOF=180°?120°=60°,
∵CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD,
∴∠C=∠OED=∠D=90°,
∴OE∥BC∥AD,
∵O為AB中點,
∴CE=ED,
∴BC+AD=2OE=AB=4,
∴陰影部分的面積S=S梯形BCDF?(S扇形AOF?S△BOF)
= (BC+AD)×BF? + ×2 ×1
= ×4×2 ? π?
=3 ? π,
故答案為:3 ? π.
15.(3分)如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于C,D兩點,分別過C,D兩點作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F(xiàn),連接CF,DE.有下列五個結(jié)論:
①△CEF與△DEF的面積相等; ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;④AC=BD; ⑤tan∠BAO=a
其中正確的結(jié)論是、佗冖堍荨。ò涯阏J為正確結(jié)論的序號都填上)
【解答】解:①設D(x, ),則F(x,0),
由圖象可知x>0,k>0,
∴△DEF的面積是: × ×x= k,
設C(a, ),則E(0, ),
由圖象可知:a>0, <0,
△CEF的面積是: ×|a|×| |= |k|,
∴△CEF的面積=△DEF的面積,
故①正確;
②△CEF和△DEF以EF為底,則兩三角形EF邊上的高相等,
∴EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正確;
③BD∥EF,DF∥BE,
∴四邊形BDFE是平行四邊形,
∴BE=DF,而只有當a=1時,才有CE=BE,
即CE不一定等于DF,故△DCE≌△CDF不一定成立;
故③錯誤;
④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四邊形BDFE是平行四邊形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正確;
⑤由一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,
易得A(? ,0),B(0,b),
則OA= ,OB=b,
∴tan∠BAO= =a,
故⑤正確.
正確的有4個:①②④⑤.
故答案為:①②④⑤.
16.(3分)拋物線C1:y=x2?1(?1≤x≤1)與x軸交于A、B兩點,拋物線C2與拋物線C1關于點A中心對稱,拋物線C3與拋物線C1關于點B中心對稱.若直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點,則b的取值或取值范圍是 b=? 或? 或3≤b< 。
【解答】解:拋物線C1:y=x2?1(?1≤x≤1),頂點E(0,?1),
當y=0時,x=±1,
∴A(?1,0),B(1,0),
當拋物線C2與拋物線C1關于點A中心對稱,
∴頂點E關于點A的對稱點E′(?2,1),
∴拋物線C2的解析式為:y=?(x+2)2+1=?x2?4x?3,
當拋物線C3與拋物線C1關于點B中心對稱,
∴頂點E關于點B的對稱點E′′(2,1),
∴拋物線C3的解析式為:y=?(x?2)2+1=?x2+4x?3,
①當y=?x+b過D(3,0)時,b=3,
當y=?x+b與C3相切時,即與C3有一個公共點,
則 ,
?x2+4x?3=?x+b,
x2?5x+b+3=0,
△=25?4(b+3)=0,
b= ,
∴當3≤b< 時,直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點,
②當y=?x+b與C1相切時,即與C1有一個公共點,
則 ,
x2?1=?x+b,
x2+x?1?b=0,
△=1?4(?1?b)=0,
b=? ,
當y=?x+b與C2相切時,即與C2有一個公共點,
則 ,
?x2?4x?3=?x+b,
?x2?3x?3?b=0,
△=9?4×(?1)×(?3?b)=0,
b=? ,
∴當b=? 或? 時,直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點,
綜上所述:當b=? 或? 或3≤b< 時,直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點.
三、解答題:
17.(8分)先化簡,后求值:( ? )÷ ,其中x滿足x2?x?2=0.
【解答】解:原式= ×
=x?1,
∵滿足x2?x?2=0,
∴x=?1或2,
∵x=2分式無意義,
∴x=?1時,原式=?2.
18.(8分)如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,DF平分∠ADC交BC于F.求證:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)若BD⊥EF,則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形,請證明你的結(jié)論.
【解答】:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD=CB,AD∥CB,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE= ∠ABC,∠CDF= ∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(ASA);
(2)∴AE=CF,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,
∴四邊形EBFD是平行四邊形.
∵BD⊥EF,
∴四邊形EBFD是菱形.
19.(8分)我校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字39個,比賽結(jié)束后隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分.
組別 正確數(shù)字x 人數(shù)
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,m= 30 ,n= 20 ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是 90° .
(3)有三位評委老師,每位老師在E組學生完成學校比賽后,出示“通過”或“淘汰”或“待定”的評定結(jié)果.學校規(guī)定:每位學生至少獲得兩位評委老師的“通過”才能代表學校參加鄂州市“漢字聽寫”比賽,請用樹形圖求出E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率.
【解答】 解:(1)∵總?cè)藬?shù)為15÷15%=100(人),
∴D組人數(shù)m=100×30%=30,E組人數(shù)n=100×20%=20,
補全條形圖如下:
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是360°× =90°,
故答案為:90°;
(3)記通過為A、淘汰為B、待定為C,
畫樹狀圖如下:
由樹狀圖可知,共有27種等可能結(jié)果,其中獲得兩位評委老師的“通過”有7種情況,
∴E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率為 .
20.(8分)已知關于x的二次函數(shù)y=x2?(2m+3)x+m2+2?
(1)若二次函數(shù)y的圖象與x軸有兩個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),且滿足x12+x22=31+|x1x2|,求實數(shù)m的值.
【解答】解:(1)由題意得,[?(2m+3)]2?4×1×(m2+2)>0,
解得,m>? ;
(2)由根與系數(shù)的關系可知,x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,
x12+x22=31+|x1x2|,
(x1+x2)2?2x1x2=31+|x1x2|,
(2m+3)2?2×(m2+2)=31+m2+2,
整理得,m2+12m?28=0,
解得,m1=2,m2=?14(舍去),
當m=2時,滿足x12+x22=31+|x1x2|.
21. (9分)在一次數(shù)學活動課上,老師帶領學生測量一條南北流向的河的寬度,如圖所示,某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C,測得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行10米到達B處,測得C在B北偏西45°的方向上,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該同學計算出這條河的寬度.(精確到1米,參考數(shù)值:tan31°≈ ,sin31°≈ )
【解答】解:過點C作CD⊥AB,垂足為D,
設CD=x米,
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴BD=CD=x米.
在Rt△ACD中,∠DAC=31°,
AD=AB+BD=(10+x)米,CD=x米,
∵tan∠DAC= ,
∴ = ,
解得x=15.
經(jīng)檢驗x=15是原方程的解,且符合 題意.
答:這條河的寬度為15米.
22.(9分)如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,若BC=9,tan∠CDA= ,求BE的長.
【解答】(1)證明:連OD,OE,如圖,
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,
而∠CBD=∠1,
∴∠1=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:∵EB為⊙O的切線,ED是切線,
∴ED=EB,∵OB=OD,
∴OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA= ,
∴tan∠OEB= = ,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴ = = = ,
∴CD= ×9=6,
在Rt△CBE中,設BE=x,
∴(x+6)2=x2+92,
解得x= .
即BE的長為 .
23.(10分)某景點試開放期間,團隊收費方案如下:不超過30人時,人均收費120元;超過30人且不超過m(30<m≤100)人時,每增加1人,人均收費降低1元;超過m人時,人均收費都按照m人時的標準.設景點接待有x名游客的某團隊,收取總費用為y元.
(1)求出y關于x的函數(shù)表達式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)景點工作人員發(fā)現(xiàn):當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時,會 出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費用隨著團隊總?cè)藬?shù)的增加而增加,求m的取值范圍.
【解答】解:(1)y= ,其中(30<m≤100).
(2)由(1)可知當0<x≤30或x>m,函數(shù)值y都是隨著x是增加而增加,
當30<x≤m時,y=?x2+150x=?(x?75)2+5625,
∵a=?1<0,
∴x≤75時,y隨著x增加而增加,
∴為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加,
∴30<m≤75.
24.(12分)如圖①、②,在平面直角坐標系中,一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合,現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點),按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置.
(1)求C′點的坐標;
(2)求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式;
(3)如圖③,⊙G是以AB為直徑的圓,過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F,求切線BF的解析式;
(4)在(3)的條件下,拋物線上是否存在一點M,使得△BOF與△AOM相似?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)作C′H⊥x軸,如圖②,
∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形,
而三角板CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點),按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△C′ED,
∴AC′=OA=2,∠OAB=∠BAC′=60°,
∴∠C′AH=60°,
∴AH= AC′=1,C′H= AH= ,
∴C′(3, );
(2)設拋物線解析式為y=ax(x?2),
把C′(3, )代入得a•3•1= ,解得a= ,
∴拋物線解析式為y= x(x?2),
即y= x2? x;
(3)∵BF為⊙G的切線,
∴AB⊥BF,
而∠FAB=60°,
∴FA=2AB=4,
∴F(?2,0),
∵OB=OA=AC′=BC′=2,
∴四邊形AOBC′為菱形,
∴B(1, ),
設直線BF的解析式為y=kx+b,
把F(?2,0),B(1, )代入得 ,解得 ,
∴直線BF的解析式為y= x+ ;
(4)存在.
拋物線的對稱軸為直線x=1,
當x=1時,y= x2? x=? ,則拋物線的頂點坐標為(1,? ),
∵OF=OB=2,
∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形,
當AM=AO=2時,點M與點C′重合,△BOF與△AOM相似,此時M(3, ),
當OM=OA時,點M與點C′關于直線x=1對稱,△BOF與△AOM相似,此時M(?1, ),
當MA=MO時,點M為拋物線的頂點時,∠OAM=120°,△BOF與△AOM相似,此時M(1,? ),
綜上所述,滿足條件的M點的坐標為(3, )或(?1, )或(1,? ).
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