函數(shù)的極值
求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y′=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，例如 y=x3,當(dāng)x=0時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點(diǎn))，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，取決于這個點(diǎn)左、右兩邊的增減性，即兩邊的y′的符號，若改變符號，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)；若不改變符號，則非極值點(diǎn)，一個函數(shù)的極值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處取得，但可得函數(shù)的極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0
例 已知f(x)=ax3+bx2+c x(a≠0)在x=±1時取得極值，且f(1)=－1
(1)試求常數(shù)a、b、c的值；
(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說明理由
命題意圖 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入 是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點(diǎn)，通過對函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解
知識依托 解題的成功要靠正確思路的選擇 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化 這是解答本題的閃光點(diǎn)
錯解分析 本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用f′(±1)=0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙
技巧與方法 考查函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x=±1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值
解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c
∵x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根
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