四方面分析為考生謀劃“過橋策略”
數(shù)列一章,在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要,它是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁,是高考每年必考的重要內(nèi)容。內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)及求和、數(shù)學(xué)歸
納法和數(shù)列極限等;它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想。本文結(jié)合近幾年高考數(shù)學(xué)題,從四個方面對數(shù)列進(jìn)行分析,希望能對本屆考生數(shù)列復(fù)習(xí)提供參考。
關(guān)于函數(shù)思想
數(shù)列可看作特殊的函數(shù),在復(fù)習(xí)中,處理有些數(shù)列問題要滲透函數(shù)觀點(diǎn),但注意它們的區(qū)別。
例1:數(shù)列{an}中,an=n2+n為單調(diào)遞增數(shù)列,求的取值范圍。
解答:可仿照研究函數(shù)單調(diào)性的思想,利用an+1>an對n∈N恒成立,可求出>-3
例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1>0,S9=S17,n=?,Sn最大,最大為多少?
解答:借助二次函數(shù),由已知a1>0,S9=S17,公差顯然小于0,則點(diǎn)(n,Sn)所對應(yīng)的函數(shù)圖象為開口向下的拋物線,利用二次函數(shù)知識,n=13,Sn取得最大值,最大值
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基本量問題
在等差(比)數(shù)列中,常會在首項(xiàng)a1,第n項(xiàng)an,項(xiàng)數(shù)n,公差(比)d(q),前n項(xiàng)和Sn之間,給出一些已知條件,從而得出這五個量之間的某些關(guān)系,連同數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)
和公式,可以求出其他的一些量,對于這種解題的方法應(yīng)能做到熟練掌握,但在具體解決的過程中,選擇合適的公式和處理技巧也非常重要。
例3:已知等比數(shù)列{an},a3=11/2,S3=41/2,求a1與公比q。
分析:如果用通項(xiàng)及求和公式(對q分q=1和q≠1討論),顯得繁瑣;但如果采用方程組a1q2=11/2a1+a1q+a1q2=41/2,或a3/q2+a3/q+a3=41/2比較方便,解得a1=11/2,q=1或a1=6
,q=-1/2
數(shù)列中的運(yùn)算
已知數(shù)列{an}和{bn}都是等比數(shù)列,那么{an·bn},{an3},{1/bn}等均成等比數(shù)列,但{an+bn}不一定成等比數(shù)列,只有當(dāng)這兩個數(shù)列的公比相等,并且a1+b1≠0,對
應(yīng)的和數(shù)列才成等比數(shù)列。
類比:例4:已知數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列,那么{an+bn},{kan},{pan+qbn}等均成等差數(shù)列,但{an·bn}不一定成等差數(shù)列,我們可以研究兩個等差數(shù)列的和數(shù)列仍
為等差數(shù)列的條件。
解答:可從特殊入手,不妨設(shè)等差數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,{an·bn}的前三項(xiàng)依次為a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2),由已知,它們成等差數(shù)列,即2
(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2),得d1·d2=0,即等差數(shù)列{an}和{bn}至少有一個是常數(shù)列,當(dāng)數(shù)列{an}和{bn}有一個是常數(shù)列,即形如{kan},顯然它是等差數(shù)列。從
上述過程中,我們知道,如果兩個等差數(shù)列均不是常數(shù)列,則其積數(shù)列一定不構(gòu)成等差數(shù)列。
研究性學(xué)習(xí)
近幾年在高考試卷中出現(xiàn)一些研究性問題,如數(shù)列的“基本量”問題,等和與等積數(shù)列,絕對差數(shù)列,對稱數(shù)列等問題。同學(xué)們在解決此類問題時,要從題目給出的語言情景
入手,緊扣定義,循序漸進(jìn)地解決問題。
例5:若有窮數(shù)列a1,a2…an(n是正整數(shù)),滿足a1=an,a2=an-1…an=a1即a1=an-i+1(i是正整數(shù),且1≤i≤n),就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。
(3)對于給定的正整數(shù)m>1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列,使得1,2,22…2m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng);當(dāng)m>1500時,試求其中一個數(shù)列的前2008項(xiàng)和S2008。
命題人出題的用意,要求學(xué)生在“對稱數(shù)列”的背景之下,結(jié)合等差和等比數(shù)列,解決有關(guān)問題,第三問實(shí)際上是個分段數(shù)列求其前n項(xiàng)和Sn的問題,滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思
想,但此問高考得分率不夠理想,反映學(xué)生在處理新問題的能力有待提高。
事實(shí)上,在數(shù)列的復(fù)習(xí)中,既要重視公式的應(yīng)用,還要注意計(jì)算的合理性。在處理某些數(shù)列問題時,要滲透函數(shù)觀點(diǎn),借助函數(shù)思想幫助解決;同時要注意新情景下的數(shù)列問
題研究,有意識建立與等差數(shù)列、等比數(shù)列的聯(lián)系,探討通項(xiàng)和求和問題;數(shù)學(xué)思想如分類思想、特殊化思想等在數(shù)列中的考查,也是同學(xué)們在復(fù)習(xí)中必須重視的問題。
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