●知識梳理
函數(shù)的綜合應用主要體現(xiàn)在以下幾方面：
1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合，如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面知識的綜合.
2.函數(shù)與其他數(shù)學知識點的綜合，如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.
3.函數(shù)與實際應用問題的綜合.
●點擊雙基
1.已知函數(shù)f(x)=lg(2x-b)(b為常數(shù))，若x∈[1，+∞)時，f(x)≥0恒成立，則
A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1
解析：當x∈[1，+∞)時，f(x)≥0，從而2x-b≥1，即b≤2x-1.而x∈[1，+∞)時，2x-1單調(diào)增加，
∴b≤2-1=1.
答案：A
2.若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過點A(0，3)和B(3，-1)，則不等式f(x+1)-1<2的解集是___________________.
解析：由f(x+1)-1<2得-2
又f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象過點A(0，3)，B(3，-1)，
∴f(3)
∴0
答案：(-1，2)
●典例剖析
【例1】 取第一象限內(nèi)的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，使1，x1，x2，2依次成等差數(shù)列，1，y1，y2，2依次成等比數(shù)列，則點P1、P2與射線l:y=x(x>0)的關(guān)系為
A.點P1、P2都在l的上方B.點P1、P2都在l上
C.點P1在l的下方，P2在l的上方D.點P1、P2都在l的下方
剖析：x1= +1= ，x2=1+ = ，y1=1× = ，y2= ，∵y1
∴P1、P2都在l的下方.
答案：D
【例2】 已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(2)=0，g(x)是R上的奇函數(shù)，且對于x∈R，都有g(shù)(x)=f(x-1)，求f(2002)的值.
解：由g(x)=f(x-1)，x∈R，得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=
g(x-3)=f(x-4)，也即f(x+4)=f(x)，x∈R.
∴f(x)為周期函數(shù)，其周期T=4.
∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0.
評述：應靈活掌握和運用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).
【例3】 函數(shù)f(x)= (m>0)，x1、x2∈R，當x1+x2=1時，f(x1)+f(x2)= .
(1)求m的值;
(2)數(shù)列{an}，已知an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)，求an.
解：(1)由f(x1)+f(x2)= ，得 + = ，
∴4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].
∵x1+x2=1，∴(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.
∴4 +4 =2-m或2-m=0.
∵4 +4 ≥2 =2 =4，
而m>0時2-m<2，∴4 +4 ≠2-m.
∴m=2.
(2)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)，∴an=f(1)+f( )+ f( )+…+f( )+f(0).
∴2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]+…+[f(1)+f(0)]= + +…+ = .
∴an= .
深化拓展
用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問題是一重要的思想方法.
【例4】 函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)=-2.
(1)證明f(x)是奇函數(shù);
(2)證明f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值.
(1)證明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.從而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).
(2)證明：任取x1、x2∈R，且x1
∴-f(x2-x1)>0，即f(x1)>f(x2)，從而f(x)在R上是減函數(shù).
(3)解：由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).由f(1)=-2，得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6，f(-3)=-f(3)=6.從而最大值是6，最小值是-6.
深化拓展
對于任意實數(shù)x、y，定義運算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算.現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)m，使得對于任意實數(shù)x，都有x*m=x，試求m的值.
提示：由1*2=3，2*3=4，得
∴b=2+2c，a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x對于任意實數(shù)x恒成立，
∴ ∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.
∴-1+6-m=1.∴m=4.
答案：4.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/209461.html
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