一、教學目標
a) 知識與技能
＊能根據(jù)散點分布特點，建立不同的回歸模型。
＊知道有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。
＊通過散點圖及相關指數(shù)比較體驗不同模型的擬合效果。
b) 過程與方法
＊通過將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，使學生體會“轉(zhuǎn)化”的思想。
＊讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺，體會統(tǒng)計方法的特點，認識統(tǒng)計方法的應用。
＊通過使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計算器求相關指數(shù)，使學生體會使用計算器處理數(shù)據(jù)的方法。
c) 情感、態(tài)度與價值觀
＊從實際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識不足，激發(fā)好奇心、求知欲。
＊通過尋求有效的數(shù)據(jù)處理方法，開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力。
＊通過案例的分析，使學生了解回歸分析在生活實際中的應用，增強數(shù)學“取之生活，用于生活”的意識，提高學習興趣。
二．教學重點、難點
＊重點：通過探究使學生體會有些非線性模型運用等量變換、對數(shù)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。
＊難點：如何啟發(fā)學生“對變量作適當?shù)淖儞Q（等量變換、對數(shù)變換）”，變非線性為線性，建立線性回歸模型。
三、教學過程設計
項 目
內(nèi) 容
師生活動
設計意圖
教
學
過
程
分
析
一、
創(chuàng)
設
情
境
1、你能回憶一下建立回歸模型的基本步驟嗎？
師：提出問題，引導學生回憶建立回歸模型的基本步驟（選變量、畫散點圖、選模型、估計參數(shù)、分析和預測）。
生：回憶、敘述建立回歸模型的基本步驟。
復習建立線性回歸模型的基本步驟，為建議非線性模型做準備。
2、背景介紹：
紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫度為 25一32C，相對濕度為80％一100％，低于 20C和高于35C卵不能孵化，相對濕度60％ 以下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低于一4．8 ℃時，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死。
師：通過“紅鈴蟲”的背景介紹，指出其發(fā)生受溫度的影響，為采取有效防治方法，有必要研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關系，揭示課題。
生：閱讀材料，了解紅鈴蟲，以及其產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關系。
通過背景材料，加深學生對問題的理解，并明白“為什么要學”。體會問題產(chǎn)生于生活。同時激發(fā)學習興趣，提高學習的積極性。
二、
探
索
新
知
二、
探
索
新
知
1、例2.現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測數(shù)據(jù)列于下表：
溫度xoC
21
23
25
27
29
32
35
產(chǎn)卵數(shù)y/個
7
11
21
24
66
115
325
(1)試建立y與x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。
(2)你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？
探究：
方案1（學生實施）：
（1）選擇變量，畫散點圖。
（2）通過計算器求得線性回歸方程:=19.87x-463.73
（3）進行回歸分析和預測：
R2=r2≈0.8642=0.7464
預測當氣溫為28 時，產(chǎn)卵數(shù)為92個。這個線性回歸模型中溫度解釋了74.64%產(chǎn)卵數(shù)的變化。
困惑：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28 時，估計產(chǎn)卵數(shù)應該低于66個，但是從推算的結(jié)果來看92個比66個卻多了26個，是什么原因造成的呢？
方案2：
（1）找到變量t=x 2，將y=bx2+a轉(zhuǎn)化成y=bt+a；
（2）利用計算器計算出y和t的線性回歸方程：y=0.367t-202.54
（3）轉(zhuǎn)換回y和x的模型：
y=0.367x2 -202.54
（4）計算相關指數(shù)R2≈0.802這個回歸模型中溫度解釋了80.2%產(chǎn)卵數(shù)的變化。
預測：當氣溫為28 時，產(chǎn)卵數(shù)為85個。
困惑：比66還多19個，是否還有更適合的模型呢？
方案3：
（1）作變換z=lgy，將轉(zhuǎn)化成z=c2x+lgc1（線性模型）。
（2）利用計算器計算出z和x的線性回歸方程： z=0.118x-1.672
（3）轉(zhuǎn)換回y和x的模型：
（4）計算相關指數(shù)R2≈0.985這個回歸模型中溫度解釋了98.5%產(chǎn)卵數(shù)的變化。
預測：當氣溫為28 時，產(chǎn)卵數(shù)為4 2個。
師：給出數(shù)據(jù)，讓學生分析兩個變量的關系。
生：類比前面所學過的建立線性回歸模型的步驟，動手實施方案1。
師：引導學生分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)問題。
生：檢查結(jié)果，聯(lián)系實際發(fā)現(xiàn)問題。
探究一：
師：引導學生將所得散點圖和學過的函數(shù)圖像比較，猜想產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的可以用什么函數(shù)擬合？
生：通過比較，發(fā)現(xiàn)接近于指數(shù)關系，也像二次函數(shù)關系。
師：通過計算機擬合，直觀判斷所選模型。鼓勵學生繼續(xù)探索。
生：經(jīng)過討論建立模型：
y=bx2+a，
探究二（方案2）:
師：提出問題“如何求參數(shù)a、b?”可引導學生觀察、比較表達式y(tǒng)=bx2+a和y=bx+a。
生：通過比較，發(fā)現(xiàn)可利用
t=x2，將y=bx2+a（二次函數(shù)）轉(zhuǎn)化成y=bt+a（一次函數(shù)）。
師：提醒學生再檢查結(jié)果。
生：產(chǎn)生新的問題。
探究三（方案3）:
師：提出問題“如果選用指數(shù)模型，是否也能轉(zhuǎn)換成線性模型，如何轉(zhuǎn)化？”（1）利用對數(shù)降冪法（教師可啟發(fā)學生思考“冪指數(shù)中的自變量如何轉(zhuǎn)化為自變量的一次冪？”可引導學生回憶對數(shù)的運算性質(zhì)以及指對數(shù)關系。）。
（2）在計算中發(fā)現(xiàn)只有以10或e為底，才能直接運用計算器。
引導學生對結(jié)果進行分析，從而發(fā)現(xiàn)已有知識不足，激發(fā)好奇心、求知欲。同時培養(yǎng)學生對問題的洞悉能力，增強對結(jié)果的敏感自檢能力。
通過聯(lián)想、比較，運用已有知識尋找解決問題的方法。
二次函數(shù)和一次函數(shù)比較接近，所以先建立二次函數(shù)模型。
通過比較，尋找轉(zhuǎn)化的途徑，突破難點。
步步推進，引發(fā)另一高潮。
再次體會“轉(zhuǎn)化”
課堂上選用以10為底，讓學生親自體會可以選用不同的底。
經(jīng)歷動手體驗，感受“轉(zhuǎn)化”以及使用統(tǒng)計方法處理數(shù)據(jù)的過程。能利用計算器熟練進行相關計算。
2、比較例2的三個模型。
師：以上三個模型，哪個能更好的刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y 和溫度x的關系？（可引導學生從散點圖、相關指數(shù)兩種方法進行比較。）
生：進行比較后獲得指數(shù)模型更好。
引導學生進行不同模型的比較。體會“雖然任意兩個變量的觀測數(shù)據(jù)都可以用線性回歸模型來擬合，但不能保證這種模型對數(shù)據(jù)的擬合效果最好，為更好的刻畫兩個變量之間的關系，要根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的特點來選擇回歸模型”
三、練
習
選修1-2：P13 3
或選修2-3： P104 3
生：自主思考，探究解題思路。
師：針對學生的解答強化或給予肯定。
使學生掌握解決這類問題的方法。
四、
小
結(jié)
（1）如何發(fā)現(xiàn)兩個變量的關系？
（2）當選用非線性回歸模型時，如何建立模型？
（3）如何比較不同模型的擬合效果？
師：提出問題，引導學生回顧例2的思路。
生：獨立思考，總結(jié)從例2中獲得的啟發(fā):可以從散點圖直觀發(fā)現(xiàn)關系；選用非線性回歸模型時，往往要用“等量變換、對數(shù)變換”等方法，轉(zhuǎn)化成線性回歸模型；可以利用相關指數(shù)比較模型。
讓學生整理建立非線性回歸模型的思路。
五、作業(yè)
1、某種書每冊的成本費y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：
x
1
2
3
4
5
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
x
6
7
8
9
10
y
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
(1)畫出散點圖；
(2)求成本費y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）的回歸方程。
2、通過互聯(lián)網(wǎng)收集1993年至2003年每年中國人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，建立人口與年份的關系，預測2004和2005年的人口總數(shù)，并計算與實際數(shù)據(jù)的誤差。
生：自己收集資料，自主完成作業(yè)。
使學生“學以致用”利用已有知識解決實際問題，增強學習數(shù)學的興趣
四、教學設計說明：
高中新課程中增加了有關統(tǒng)計學初步的內(nèi)容，先后出現(xiàn)在必修3和選修1-2（文科）、選修2-3（理科）�！稊�(shù)學3》中的“統(tǒng)計”一章，給出了運用統(tǒng)計的方法解決問題的思路�！熬�性回歸分析”是其介紹的一種分析整理數(shù)據(jù)的方法。在這一章中，學習了如何畫散點圖、利用最小二乘法的思想利用計算器求回歸直線方程、利用回歸直線方程進行預報等內(nèi)容。然而在大量的實際問題中，兩個變量不一定都呈線性相關關系，他們可能呈指數(shù)關系或?qū)?shù)關系等非線性關系，本課時就是在學習了如何建立線性回歸模型的基礎上，探索如何建立非線性關系的回歸模型。
這個內(nèi)容在人教A版教材中只安排了一道關于“紅鈴蟲”的例題，但是它卻代表了一種“回歸分析”的類型。如何利用這道例題使學生掌握這類問題的解決方法呢？為此，我設計了“引導發(fā)現(xiàn)、合作探究”的教學方法。首先展示“紅鈴蟲”的背景資料來激發(fā)學生的學習興趣；鼓勵學生用已有知識解決問題，引導學生檢查結(jié)果從而發(fā)現(xiàn)新問題；通過分組合作來對不同方案進行探索；使學生在合作探索的過程中體會“選擇模型——將非線性轉(zhuǎn)化成線性……”方法，體會“化未知為已知、用已知探索未知”思想，同時認識不同模型的效果。培養(yǎng)學生觀察、類比聯(lián)想，以及分析問題的能力。在教學過程中讓學生自主探索、動手實踐，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣。
在“選模型”這個環(huán)節(jié)中，我引導將散點分布和已學函數(shù)圖像進行比較，從而發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)模型。在“轉(zhuǎn)化”這個環(huán)節(jié)中，通過引導學生觀察所選模型，聯(lián)系已學知識選擇“等量變換和對數(shù)變換”，從而找到轉(zhuǎn)化的途徑。在運算過程中，如求“相關指數(shù)”我引導學生使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計算器求其相關系數(shù)即為相關指數(shù)，使學生體會使用計算器處理數(shù)據(jù)的方法和技能。
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