數(shù)學(xué)4（必修）的內(nèi)容包括三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換。
三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。這是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù)。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用。三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用。
全書共需36課時，具體分配如下：
第一章 三角函數(shù) 16課時
第二章 平面向量 12課時
第三章 三角恒等變換 8課時
一、本模塊的地位作用
通過本模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將在如下一些方面得到提高。
1．加深對數(shù)學(xué)與實踐關(guān)系的認識。
三角函數(shù)、向量都是刻畫現(xiàn)實世界某些現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。周期變化現(xiàn)象在現(xiàn)實中大量存在，如音樂的旋律、波浪、晝夜的交替、潮汐、鐘擺的運動、交流電等，這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)來描述。實際上，三角函數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展與解決具有周期性變化規(guī)律的問題的需要密切相關(guān)。力、速度、位移等也是實際生活中所常見的，它們是向量的實際背景，也是向量描述的對象。因此，三角函數(shù)、向量的學(xué)習(xí)能使學(xué)生加深認識數(shù)學(xué)與實踐的緊密聯(lián)系，通過用三角函數(shù)、向量解決實際問題的實踐體會數(shù)學(xué)的作用和價值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的觀點看待和處理日常生活以及其他學(xué)科的問題的方法。
2．認識數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究的方法。
三角函數(shù)與數(shù)學(xué)1中的函數(shù)概念有著特殊與一般的關(guān)系，三角函數(shù)的研究以一般函數(shù)概念及其研究方法為指導(dǎo)，同時三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可以加深對函數(shù)概念的理解。三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓及其性質(zhì)有著直接的聯(lián)系，三角函數(shù)的研究很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。在三角函數(shù)的研究中，借助單位圓進行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合地思考和解決問題的好機會。
向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數(shù)、幾何及三角函數(shù)的橋梁。向量是處理數(shù)學(xué)及現(xiàn)實問題的有效工具。在本模塊中，在向量之后安排三角恒等變換，讓學(xué)生經(jīng)歷用向量工具推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，其目的就是為了讓學(xué)生體會向量的這種作用，并進而使學(xué)生體會向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系等。
總之，通過本模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以從三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓及其性質(zhì)的聯(lián)系、向量與代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)的聯(lián)系、和（差）公式及倍角公式之間的聯(lián)系等，體會不同數(shù)學(xué)知識在內(nèi)容與方法上的聯(lián)系性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的基本方法。
3．發(fā)展運算能力和推理能力。
作為代數(shù)對象，向量可以進行運算。學(xué)生已經(jīng)熟悉數(shù)與式的運算，這里又將運算發(fā)展到向量運算，這是運算的一次飛躍。事實上，向量運算的思想和方法具有很強的遷移能力，例如矩陣運算就是向量運算的推廣。
與代數(shù)恒等變換一樣，三角恒等變換也是“只變其形不變其質(zhì)”的，變換的目的在于揭示那些形式不同但實質(zhì)相同的三角函數(shù)式的內(nèi)在聯(lián)系，通過簡化三角函數(shù)式的表現(xiàn)形式而認識其本質(zhì)。在三角恒等變換中，學(xué)生可以通過探求和（差）角公式、倍角公式，以及運用這些公式推導(dǎo)和差化積、積化和差、半角公式等的實踐，學(xué)習(xí)怎樣預(yù)測變換目標(biāo)，選擇變換，設(shè)計變換途徑等。
由上所述可知，通過本模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)運算的意義，學(xué)習(xí)運算、推理的基本思想，他們的運算能力和推理能力將得到提高。
二、編寫中考慮的幾個問題
三角函數(shù)與三角恒等變換是高中數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容，平面向量是1996年進入高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，因此，本模塊的內(nèi)容屬于“傳統(tǒng)內(nèi)容”。與以往的教科書相比較，本書在內(nèi)容、要求以及處理方法上都有新的變化。
1．以基本概念為主干內(nèi)容貫穿本書，削枝強干，建立合理的教材體系。
“標(biāo)準”設(shè)定的本模塊課程學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
�。�1）通過實例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用；
（2）了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力；
�。�3）運用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。
根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們在編寫教科書過程中，特別注意突出主干內(nèi)容，強調(diào)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想。
“三角函數(shù)”一章，突出了三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)。即通過現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象，在學(xué)生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念，研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決一些實際問題。
與傳統(tǒng)的處理方法不同，這里把三角恒等變換從三角函數(shù)中獨立出來，其目的也是為了在三角函數(shù)一章中突出“函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”這條主線。
“平面向量”一章，突出強調(diào)了向量的工具特性，充分利用向量的物理背景與幾何背景建立向量及其運算的概念，并在這個過程中強調(diào)用向量解決實際問題及幾何問題。其中，特別強調(diào)了用向量解決幾何問題的基本思想——“三步曲”，從而比較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。另外，作為一個應(yīng)用，用向量方法推導(dǎo)了兩角差的余弦公式。
為了實現(xiàn)削枝強干的目標(biāo)，教科書除了將三角恒等變換獨立成章外，還在具體內(nèi)容上進行了處理。在三角函數(shù)部分刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數(shù)值求角以及符號等內(nèi)容，任意角、弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，周期函數(shù)與最小正周期，三角函數(shù)的奇偶性等內(nèi)容都降低了要求。三角恒等變換中，兩角和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出。積化和差、和差化積、半角公式都作為三角恒等變換基本訓(xùn)練的例題，不要求用積化和差、和差化積、半角公式作復(fù)雜的恒等變形。平面向量部分將平面兩點間的距離公式，線段定比分點及中點坐標(biāo)公式，平移公式等內(nèi)容作為平面向量的應(yīng)用，也降低了要求。
根據(jù)上述考慮，本模塊先安排三角函數(shù)，再安排平面向量，然后再把三角恒等變換作為平面向量的一個應(yīng)用，安排在第3章，緊接著再安排解三角形的內(nèi)容（放在數(shù)學(xué)5的第1章）。這樣的教材體系的合理性在于：
�。�1）以已有的集合與函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的知識為基礎(chǔ)，三角函數(shù)置于其上位概念（即函數(shù)）之下，使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)有一個好的“先行組織者”，找到一個有力的“固著點”。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是一種“逐漸分化”式的學(xué)習(xí)。
�。�2）三角函數(shù)的學(xué)習(xí)為平面向量的學(xué)習(xí)作了必要的準備，因為平面向量的某些內(nèi)容(向量的數(shù)量積)需要用到鈍角的三角函數(shù)。
�。�3）將三角恒等變換安排在平面向量之后，使學(xué)生能夠切實感受到平面向量的威力（用向量為工具推導(dǎo)三角變換公式非常簡捷，而用其他方法都比較繁瑣）。另外，由于三角恒等變換與“函數(shù)”討論的主題關(guān)系較遠，作為平面向量的一個應(yīng)用而獨立成章，對三角函數(shù)的系統(tǒng)性沒有破壞。
�。�4）將解三角形的內(nèi)容安排在平面向量之后，可以使正弦定理、余弦定理的證明獲得更多途徑，能更好地體現(xiàn)向量的工具性作用。
2．強調(diào)聯(lián)系、類比等思想方法的應(yīng)用，強調(diào)教科書的思想性，加強思維能力的培養(yǎng)。
在討論三角函數(shù)及其性質(zhì)時，經(jīng)常提醒學(xué)生注意用數(shù)學(xué)1中獲得的一般函數(shù)概念及其思想方法作指導(dǎo)。例如，教科書中有這樣的話：
“遇到一個新的函數(shù)，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，并借助圖象研究一下它的性質(zhì)，如：單調(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的，三角函數(shù)具有‘周而復(fù)始’的特性到底應(yīng)當(dāng)如何描述？”
這段話實際上是提示學(xué)生，在思考三角函數(shù)性質(zhì)到底研究的是哪些問題以及應(yīng)當(dāng)如何研究時，應(yīng)當(dāng)與自己在數(shù)學(xué)1中建立的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗聯(lián)系起來，顯然，這對學(xué)生把握三角函數(shù)基本性質(zhì)的討論方向是非常有用的。
向量的討論特別注意了與數(shù)的類比，包括向量的線性運算（加、減、數(shù)乘）及運算律與數(shù)的加減及其運算律的類比，平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)軸上的點表示數(shù)的類比，關(guān)于向量數(shù)量積的運算律與數(shù)的乘法運算律的類比，等等。這種類比對于學(xué)生學(xué)習(xí)如何提出問題（應(yīng)當(dāng)研究那些問題），怎樣尋找解決問題的突破口，研究問題的過程中應(yīng)當(dāng)注意哪些問題等等，都是非常有好處的，通過這樣的過程，學(xué)生的思維能力一定可以得到大的提高。
下面以用向量表示幾何元素（點、直線、平面）為例，對本書體現(xiàn)的“思想性”作一個說明。
用向量表示幾何元素是容易的，并且很直接。選一個定點，那么，任何一個點都可以用一個向量來表示。對于一條直線l，如果我們的興趣只在于它的方向，那么用一個與l平行的（非0）向量a就行了；如果想確定該直線的位置，則還要在l上任選一點。這樣，一個點A，一個向量a就在原則上確定了直線l。這是對直線l的一種定性刻畫。如果想具體地表示l上的每一個點，我們需要實數(shù)k和向量a的乘法ka。這時，l上的任意一點X都可以通過點A和某個ka來表示（如圖1）。希望在“實際”上控制直線l，可以看作是引入ka的一個原因。
現(xiàn)在來看平面。兩條相交直線確定一個平面P，因而一個定點，兩個不平行的（非0）向量a，b便在“原則”上確定了平面P。這是對平面的一種定性刻畫。但在討論幾何問題時，常常涉及平面P上的某一點X，為了具體地表示它，我們需要引入向量的加法a+b。這時，平面P上的點X就可以表示為k1a+k2b（以及定點A），而成為可操縱的對象了（如圖2）。在解決幾何問題時，這種表示能發(fā)揮很重要的作用。雖然向量的加法、數(shù)乘向量有非常堅實的物理背景，但當(dāng)我們舍棄了這種背景而只從純粹數(shù)學(xué)的角度來看問題的話，上述考慮可使我們看到引進相應(yīng)的向量運算的理由，這可以使我們更容易接受并喜愛向量運算。
這樣，一個定點，一個向量a以及數(shù)乘向量ka便給出直線l的“坐標(biāo)系”；而一個定點，兩個不共線向量a，b，以及數(shù)乘向量和向量加法這兩個運算，就給出了平面P的一個“坐標(biāo)系”。類似的，空間的一個“坐標(biāo)系”可以由一個定點，三個不共面的向量，以及數(shù)乘向量和向量加法這兩個運算來給出。在這樣的“坐標(biāo)系”中，幾何元素及其關(guān)系不但可以得到定性刻畫，而且還能定量地表示。另外，我們可以根據(jù)面臨問題的具體條件，根據(jù)解決問題的需要（自由地）選擇“坐標(biāo)系”，并且還可以在同一個平面上選擇多個“坐標(biāo)系”。
3．加強幾何直觀，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。
本書的內(nèi)容為加強幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法研究數(shù)學(xué)問題提供了很好的條件，同時，幾何直觀對學(xué)生理解三角函數(shù)、向量等概念也發(fā)揮了重要作用。三角函數(shù)一章，特別強調(diào)了單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象，借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸的交點等性質(zhì)；平面向量一章，強調(diào)向量概念的幾何背景，強調(diào)理解向量運算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積）及其性質(zhì)的幾何意義。
這里我們特別說明一下用單位圓上點的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的意義。這樣來定義三角函數(shù)，除了考慮到使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性，為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅實的基礎(chǔ)外，主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)。
事實上，任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法。過去習(xí)慣于用角的終邊上點的坐標(biāo)及它到原點的距離的“比值”來定義，這種定義的一個基本理由是可以反映從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)。但它對準確把握三角函數(shù)的本質(zhì)也有一定的不利影響，因為銳角三角函數(shù)與解三角形是直接相關(guān)的，而任意角的三角函數(shù)與解三角形卻沒有任何關(guān)系，它是一個最基本的、最有表現(xiàn)力的周期函數(shù)，這才是三角函數(shù)最本質(zhì)的地方。
本章利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。這樣定義的好處就是直接用（弧度制下）任意角的集合到區(qū)間[－1，1]上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。
事實上，在弧度制（用半徑來度量角）下，角度和長度的單位是統(tǒng)一的，這樣，我們可以用下述方式來描述這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：
把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）t被纏繞到單位圓上的點P（cost，sint），也即是正弦函數(shù)把R中的實數(shù)t對應(yīng)到區(qū)間[－1，1]上的實數(shù)y，y= sint；余弦函數(shù)把R中的實數(shù)t對應(yīng)到區(qū)間[－1，1]上的實數(shù)x，x= cost。
上述定義可以很容易地讓我們看到三角函數(shù)的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。因此，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，也正是三角函數(shù)的這種形式?jīng)Q定了它們在數(shù)學(xué)（特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)）中的重要性。事實上，后續(xù)的內(nèi)容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)。
4．改進呈現(xiàn)方式，用恰時恰點的問題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
編寫像三角函數(shù)、向量這些在以往高中課程中已經(jīng)出現(xiàn)的內(nèi)容，我們主要考慮的是通過改進呈現(xiàn)方式，提供直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維活動的載體，達到體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育新理念，促使學(xué)生采取積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式進行學(xué)習(xí)，引導(dǎo)教師改進教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)思維能力。
在改進呈現(xiàn)方式這個問題上我們是這樣考慮的：在保證內(nèi)容體系的合理性、科學(xué)性的前提下，加強教材的問題性和思想性，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目，提出恰時恰點的問題，把數(shù)學(xué)概念的概括過程和數(shù)學(xué)思想方法的形成過程設(shè)計成為一系列的問題，啟發(fā)學(xué)生的積極主動思維。這樣，可以使學(xué)生感到概念的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想方法的形成是自然的，不是強加于人的。
例如，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是通過這樣兩個問題情景引出的：
思考：我們利用單位圓定義了三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性。能否利用圓的這種對稱性來研究三角函數(shù)的性質(zhì)呢？例如，能否從單位圓關(guān)于x軸、y軸、直線y=x的軸對稱性以及關(guān)于原點O的中心對稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？
探究：給定一個角α。
終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱的角與α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？
終邊與角α的終邊關(guān)于x軸或y軸對稱的角與α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？
終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角與α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？
其中，“思考”中的問題是上位的，它對利用單位圓的性質(zhì)討論三角函數(shù)的性質(zhì)具有一般思想方法的引導(dǎo)作用；“探究”中的問題比較具體，可以直接引起學(xué)生對誘導(dǎo)公式的探究活動。設(shè)計這樣的問題系列，就是希望學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，開展積極主動的思維活動，自己獨立推導(dǎo)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，相信有這樣的問題引導(dǎo)，是可以做到這一點的。另外，這樣的做法對于學(xué)生思考“應(yīng)當(dāng)從哪些方面來研究三角函數(shù)”，即應(yīng)當(dāng)如何提出問題，也是有啟發(fā)的。
又如，在向量的運算及運算律的內(nèi)容中，提出了“數(shù)能進行運算，因為有了運算而使數(shù)的威力無窮。與數(shù)的運算類比，向量是否也能進行運算呢？”“數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系，運算律可以有效地簡化運算。類似的，向量的加法是否也有運算律呢？”“我們知道，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則？”……來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
5．使用信息技術(shù)的考慮。
本模塊中，比較適合用信息技術(shù)的內(nèi)容是三角函數(shù)及其性質(zhì)的研究�！皹�(biāo)準”中明確提出了“借助計算器或計算機畫出 的圖象，觀察參數(shù)A，對函數(shù)圖象變化的影響”的要求，在“說明與建議”中提出“應(yīng)鼓勵學(xué)生使用計算器和計算機探索和解決問題。例如，求三角函數(shù)值，求解測量問題，分析中參數(shù)變化對函數(shù)的影響等”。根據(jù)“標(biāo)準”的要求和建議，本模塊對使用信息技術(shù)問題作了如下處理：
（1）用計算器進行角度制與弧度制的互換；
（2）用計算器求三角函數(shù)的值；
（3）用計算器的sin－1、cos－1、tan－1鍵求角；
�。�4）討論的圖象時，在邊空中提示，“可以用‘五點法’作圖，有條件的也可以用計算器或計算機作圖。在計算機的幫助下，A，對函數(shù)的圖象變化的影響能直觀地得到反映”；
�。�5）在用三角函數(shù)模型解決問題的過程中，提倡使用計算機進行函數(shù)擬合等。
相應(yīng)的，在角的兩種度量制的互換、求三角函數(shù)值、做函數(shù)圖象等方面都降低了要求，這樣做可以為學(xué)生借助信息技術(shù)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動提供時間和空間。因為有了信息技術(shù)，教科書中引進了一些計算量大、需要根據(jù)數(shù)據(jù)選擇和修正函數(shù)模型才能解決的問題。
三、使用本書的幾個建議
1．充分利用三角函數(shù)、向量與學(xué)生已有經(jīng)驗的聯(lián)系創(chuàng)設(shè)問題情景。
三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，向量也有豐富的物理與幾何背景。
在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，像日出日落，月圓月缺，春夏秋冬，24節(jié)氣，時針旋轉(zhuǎn)……都是日常經(jīng)驗，對于這些周期變化現(xiàn)象及出現(xiàn)的原因，學(xué)生在地理課中都接觸過、學(xué)習(xí)過；單擺，圓周運動，彈簧振子……是學(xué)生在物理中學(xué)習(xí)過的，這些都是認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)模型的意義的很好載體，教學(xué)中可以充分利用它們來創(chuàng)設(shè)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)情境。
在學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識中，力、速度、加速度以及幾何中的有向線段等概念都是向量概念的原型，向量的運算的物理背景有力的合成、力的分解、運動做功等。教學(xué)中可利用這些背景創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生認識向量是物理、數(shù)學(xué)中的有力工具。
2．充分利用相關(guān)知識的聯(lián)系性，引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法進行學(xué)習(xí)，加強教學(xué)的“思想性”。
三角函數(shù)與《數(shù)學(xué)1》的函數(shù)概念是一般與特殊的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意發(fā)揮學(xué)生頭腦中函數(shù)概念及在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中建立的經(jīng)驗的指導(dǎo)作用。通過聯(lián)系和類比，使學(xué)生明確三角函數(shù)與已有函數(shù)概念的共通性，同時認識三角函數(shù)的特殊性——描述周期現(xiàn)象的最有力的數(shù)學(xué)模型，從而明確需要研究的問題及其研究方法。
與學(xué)生熟悉的數(shù)量一樣，向量也是一個量，不過這個量有些特別，它既有大小又有方向。因為有大小，所以向量可以運算；因為有方向，所以向量可以用來刻畫點、直線、平面等幾何元素，也是研究幾何問題的有力工具——幾何中的向量法。因此，向量及其方法有非常強有力的類比對象——數(shù)量、解析法。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過與數(shù)及其運算律的類比，讓學(xué)生明確平面向量中研究的基本問題及其研究方法，為向量的學(xué)習(xí)提供一個有力的知識、方法的認知固著點。
3．充分發(fā)揮幾何直觀的作用，注重數(shù)形結(jié)合思想方法的運用。
在三角函數(shù)的教學(xué)中，要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提高分析和解決問題的能力。向量的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象的特點，利用向量的物理背景與幾何背景，加強幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學(xué)習(xí)向量知識。
4．把握教學(xué)要求，不搞復(fù)雜的、技巧性強的三角變換訓(xùn)練。
弧度是學(xué)生比較難接受的概念，教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生體會弧度也是一種度量角的單位（圓周的1/2π所對的圓心角或周角的1/2π），隨著后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，他們將會逐步理解這一概念，在此不必深究。
在三角恒等變換的教學(xué)中，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)思路的獲得是一個難點。為此，“標(biāo)準”明確提出利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式，并由此公式推導(dǎo)出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把握這種要求，不要因為用其他方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式有較好的思維教育價值而作過多擴展（對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以作為課外學(xué)習(xí)素材）。另外，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生通過獨立探索和討論交流，推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式，以此作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練，不要進行復(fù)雜的、技巧性強的三角恒等變換訓(xùn)練。
另外，在三角函數(shù)中被刪減的內(nèi)容（如任意角的余切、正割、余割，三角函數(shù)的奇偶性，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號等）以及降低要求的內(nèi)容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式等）都不要隨意補充或提高要求。
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