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高一數(shù)學學習：集合大小定義的基本要求九

所謂的結構，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結構，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實是結構。

數(shù)學結構也一樣。比如說上面我們講的序關系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關系的三個條件，而且每兩個自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個全序關系，這個關系就給了自然數(shù)集合一個結構，就叫序結構。你可以把擁有全序結構的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數(shù)集合，可能會把它想成數(shù)軸上離原點越來越遠的一串點，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經把序結構想像進去了。當我們感到“正偶數(shù)的個數(shù)應該是自然數(shù)個數(shù)的一半，因為每隔一個數(shù)就有一個是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實實地和奇數(shù)球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個”的。

在考慮到自然數(shù)的序結構后，我們就可以給“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了�？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個子集，令p(n)為A中小于n的元素的個數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。

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