向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系。

　　向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本章中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

　　一、內容與課程學習目標

　　本章主要包括平面向量的實際背景及基本概念、平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、平面向量應用五部分內容。通過本章學習，應引導學生：

　　1．通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

　　2．通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義。

　　3．通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。

　　4．了解向量的線性運算性質及其幾何意義。

　　5．了解平面向量的基本定理及其意義。

　　6．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。

　　7．會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。

　　8．理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

　　9．通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

　　10．體會平面向量的數量積與向量投影的關系。

　　11．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。

　　12．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

　　13．經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

　　二、本章內容安排

　　本章共安排了5個小節(jié)及2個選學內容，大約需要12個課時，具體分配如下（僅供參考）：

　　2．1 平面向量的實際背景及基本概念                           2課時

　　2．2 向量的線性運算                                         2課時

　　2．3 平面向量的基本定理及坐標表示                           2課時

　　2．4 平面向量的數量積                                       2課時

　　2．5 平面向量應用舉例                                       2課時

　　小 結                                                       2課時

　　本章知識結構如下：

　　

　　1．第一節(jié)包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。

　　教科書首先從位移、力等物理量出發(fā)，抽象出既有大小、又有方向的量──向量，并說明向量與數量的區(qū)別。然后介紹了向量的幾何表示、有向線向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念。

　　2．第二節(jié)有向量加法運算及其幾何意義、向量減法運算及其幾何意義、向量數乘運算及其幾何意義等內容。

　　教科書先講了向量的加法、加法的幾何意義、加法運算律；再用相反向量與向量的加法定義向量的減法，把向量的減法與加法統(tǒng)一起來，并給出向量減法的幾何意義；然后通過向量的加法引入了實數與向量的積的定義，給出了實數與向量的積的運算律；最后介紹了兩個向量共線的條件和向量線性運算的運算法則。

　　3．第三節(jié)包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標表示、平面向量的坐標運算、平面向量共線的坐標表示。

　　平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎。教科書首先通過一個具體的例子給出平面向量基本定理，同時介紹了基底、夾角、兩個向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎上，給出了平面向量的正交分解及坐標表示，向量加、減、數乘的坐標運算和向量坐標的概念，最后給出平面向量共線的坐標表示。坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，這為通過“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。

　　4．第四節(jié)包括平面向量數量積的物理背景及其含義、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角。

　　教科書從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數量積的概念及其幾何意義，接著介紹了向量數量積的性質、運算律及坐標表示。向量數量積把向量的長度和三角函數聯(lián)系了起來，這樣為解決有關的幾何問題提供了方便，特別能有效地解決線段的垂直問題。

　　5．第五節(jié)包括平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應用舉例。由于向量來源于物理，并且兼具“數”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用。本節(jié)通過幾個具體的例子說明了它的應用。

　　6．為了拓展學生的知識面，使學生了解向量及向量符號的由來，向量的運算（運算律）與幾何圖形形式的關系，本章安排了兩個“閱讀與思考”：向量幾向量符號的由來，向量的運算（運算律）與圖形性質。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．突出向量的物理背景與幾何背景

　　教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過日常生活中確定“位置”中的位移概念，說明學習向量知識的意義；在2.1節(jié)，通過物理學中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學生認識到向量在刻畫現(xiàn)實問題、物理問題以及數學問題中的作用，使學生建立起理解和運用向量概念的背景支持。

　　教科書借助幾何直觀，并通過與數的運算的類比引入向量運算，以加強向量的幾何背景。例如，關于向量的減法，在向量代數中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差。這樣，作b－a時，可先在平面內取一點O，再作，則就是b－a。第二種方法是在相反向量的基礎上，通過向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義。在這種定義下，作時，可先在平面內任取一點O，作，則由向量加法的平行四邊形法則知，。由于，即就是。實踐表明，中學生理解第一種定義方法存在困難，但能容易地作出；接受第二種定義方法容易，但作較繁。為便于學生接受，教科書先類比相反數給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）。

　　2．強調向量作為解決現(xiàn)實問題和數學問題的工具作用。

　　為了強調向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實中常見現(xiàn)象的有力的數學工具作用，本章特別注意聯(lián)系實際。特別是在概念引入中加強與實際的聯(lián)系。例如，在引入向量的概念時，聯(lián)系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等；向量的加法運算、平面向量的正交分解、平面向量的數量積等都與相應的物理問題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯(lián)系。

　　另外，向量也是解決數學問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數公式、線段的定比分點公式、平面兩點間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進行推導；向量作為溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，是一個很好的數形結合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進行了介紹，并在第三章用向量方法來推導兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數學工具的地位。

　　3．根據數學知識的發(fā)展過程與學生的認知過程安排內容。

　　向量是高中數學課程近年來引進的新內容，為了保證其科學性，同時又易于被學生接受，根據向量知識的發(fā)展過程和學生的思維規(guī)律，根據“標準”對向量內容的定位，并考慮到學生在數及其運算中建立起來的經驗，本章按照如下次序來編排：

　　向量的實際背景及基本概念→向量的線性運算→平面向量基本定理及坐標表示→向量的數量積→向量應用舉例。

　　具體的考慮是：

　　（1）借助力、速度、位移等現(xiàn)實中的常見現(xiàn)象，讓學生認識引進向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，給出向量的概念。

　　（2）數學中引進一個新的量，自然要看看它的運算及其運算律的問題。向量運算可以與我們熟悉的數的運算進行類比，從中得到啟發(fā)，因此在引進向量概念后接著討論向量的線性運算（加、減及數乘）是很自然的。只是要對向量與數之間不同的地方要非常小心，也即運算中除了考慮大小，還要考慮方向問題。這里，為了便于學生理解，還要借助于物理中力的合成來定義向量的加法。

　　（3）受到數軸上的點表示數的啟發(fā)，向量能不能用類似于數軸上的點的形式來表示呢？根據這個想法，以向量的加法運算為基礎，得出平面向量基本定理，就可以引進向量的坐標表示。

　�。�4）從運算的角度看，自然要研究兩個向量是否可以相乘，如果可以，那么結果怎樣？還是從向量的物理背景中得到啟發(fā)，可以定義兩個向量的數量積運算，并討論運算律問題。

　　至于向量是否可以作其他運算，以及如何定義，可以作為懸念留待今后解決。

　�。�5）學習的目的在于應用，應用的過程中可以加深理解相關知識，因此安排了“向量的簡單應用”。

　　本章內容的這種想法，如果能夠讓學生在學習過程中明確起來，那么對他們掌握本章內容會有很大幫助。

　　這里需要說明的是，向量的坐標表示的引入，由于目的不同而有不同的處理方式。高等數學教材中，往往采取先介紹向量的概念及各種運算，并直接用向量解決有關幾何問題，然后再引進坐標，并用向量和坐標方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學生知道處理幾何問題的另兩種方法——向量法和坐標法，突出數形結合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進向量的坐標，并把向量的線性運算及向量的共線等用坐標表示。

　　4．強調向量法的基本思想，明確向量運算及運算律的核心地位。

　　向量具有明確的幾何背景，向量的運算及運算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決。另外，向量及其運算（運算律）與幾何圖形的性質緊密相聯(lián)，向量的運算（包括運算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質也可以用向量的運算（運算律）來表示。例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質（在平行四邊形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD ）。這樣，建立了向量運算（包括運算律）與幾何圖形之間的關系后，可以使圖形的研究推進到有效能算的水平，向量運算（運算律）把向量與幾何、代數有機地聯(lián)系在一起。

　　幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運算”來代替解析幾何中的“數和數的運算”。這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、線、面的相應結果。如果把解析幾何的方法簡單地表述為

　　[形到數]——[數的運算]——[數到形]，

　　則向量方法可簡單地表述為

　　[形到向量]——[向量的運算]——[向量和數到形]。

　　教科書特別強調了向量法的上述基本思想，并根據上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學生體會向量運算及運算律的重要性，教科書注意引導學生在解決具體問題時及時進行歸納，同時還明確使用了“因為有了運算，向量的力量無限；如果沒有運算，向量只是示意方向的路標”的提示語。

　　5．通過與數及其運算的類比，向量法與坐標法的類比，建立相關知識的聯(lián)系，突出思想性。

　　向量及其運算與數及其運算既有區(qū)別又有聯(lián)系，在研究的思想方法上可以進行類比。這種類比可以打開學生討論向量問題的思路，同時還能使向量的學習找到合適的思維固著點。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運算，向量的數量積運算等內容的展開上，都注意與數及其運算（加、減、乘）進行類比。

　　例如，向量概念的引入用了這樣一段話：

　　我們可以從一支筆、一棵樹、一本書……抽象出只有大小的數量“1”。類似地，我們可以對力、位移……這些既有大小又有方向的量進行抽象，形成一種新的量。

　　又如，在學習向量的運算及運算律時，也是從數談起的：“數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮。與數的運算類比，向量是否也能進行運算呢？”“數的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法�！薄皵档倪\算和運算律緊密聯(lián)系，運算律可以有效地簡化運算。類似的，向量的加法是否也有運算律呢？”“我們知道，減去一個數等于加上這個數的相反數。向量的減法是否也有類似的法則？”……

　　再如，在向量的坐標表示中，先提出問題：“在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數（即它的坐標）表示。對于直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標表示，并把向量（有向線段）的坐標與點的坐標對應起來，實現(xiàn)向量的運算到數的運算的轉化。

　　6．用恰時恰點的問題引導學生的數學思維。

　　本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設置了大量問題，教科書通過這些問題來啟發(fā)學生獨立思考，加強數學知識的形成過程，提高學生的數學思維水平。例如，引進向量加法運算時，通過“探究”欄目，創(chuàng)設從力的合成到向量加法的問題情景；討論向量加法的運算律時，提出“數的加法滿足交換律與結合律，向量的加法是否也滿足交換律與結合律？請畫圖進行探索。”在討論向量數乘運算時，先提出“已知非零向量a，作出a+a+a和（－a）＋（－a）＋（－a）。你能說明它們的幾何意義嗎？”平面向量基本定理的引入，先讓學生思考“給定平面內任意兩個向量，請作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面內任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引導學生從具體到抽象，概括出平面向量基本定理。

　　四、對本章教學的幾個建議

　　1．引導學生用數學模型的觀點看待向量內容

　　在向量概念的教學中，要利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創(chuàng)設豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實例是學生了解向量的物理背景、幾何背景，引導學生認識向量作為描述現(xiàn)實問題的數學模型的作用。同時還要通過解決一些實際問題或幾何問題，使學生學會用向量這一數學模型處理問題的基本方法。

　　2．加強向量與相關知識的聯(lián)系性，使學生明確研究向量的基本思路

　　向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的方向可以與三角函數發(fā)生聯(lián)系，通過向量運算還可以描述幾何元素之間的關系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學中，教師應當充分關注到向量的這些特點，引導學生在代數、幾何和三角函數的聯(lián)系中學習本章知識。

　　值得特別注意的是，在本章的教學之初，應引導學生通過與數及其運算的類比，體會研究向量的基本思路，在學完本章內容后，還要引導學生反思，重新概括研究思路，這樣可以使學生體會數學中研究問題的思想方法，提升學生的數學思維水平。

　　3．引導學生認真體會向量法的思想實質

　　向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機結合，因而向量方法是幾何研究的一個有效的強有力工具。教學中應當通過實例，引導學生認真體會通過建立向量及其運算（運算律）與幾何圖形之間的關系，利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：

　�。�1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；

　�。�2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

　　（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。

　　其中，由于向量的數量積集距離和角這兩個刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量于一身，因而它在解決幾何問題中的作用更大，應當通過適當的問題引起學生的注意。

　　4．注意與數及其運算、解析幾何的思想方法的類比

　　前已指出，向量及其運算與數及其運算可以類比，這種類比使學生體會向量研究中的問題與方法，使向量的學習有一個好的思維固著點。這樣的類比是教學中提高思想性的有效手段，因此教學中應當予以充分的關注。另外，從思想實質來說，向量法與解析法是完全一致的，教學中可以引導學生回顧數學2中歸納的解析法的“三步曲”，然后讓學生自己概括出向量法的“三步曲”。

　　順便指出，作為向量數量化依據的平面向量基本定理，教科書是通過具體的例子來說明同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這種表示是學生所不熟悉的。教學中應當充分用好具體例子，使學生形成對基本定理的直觀理解，但不要加以證明。在進入平面向量的坐標表示以及平面向量的坐標運算后，可以引導學生通過例題，在解決線段的定比分點、平移、平面上兩點之間的距離等問題的過程中，使學生看到結果與在數學2中得到的一樣，從而進一步體會平面向量基本定理的內涵。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/176696.html

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