“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)(3)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

  一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。

函數(shù)f(x)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念,從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念,核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性,而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。

函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定定理,其目的就是通過(guò)找函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)研究方程的根,進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用,也為二分法求方程的近似解作好知識(shí)上和思想上的準(zhǔn)備。定理不需證明,關(guān)鍵在于讓學(xué)生通過(guò)感知體驗(yàn)并加以確認(rèn),由些需要結(jié)合具體的實(shí)例,加強(qiáng)對(duì)定理進(jìn)行全面的認(rèn)識(shí),比如定理應(yīng)用的局限性,即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的,定理只能判定函數(shù)的“變號(hào)”零點(diǎn);定理結(jié)論中零點(diǎn)存在但不一定唯一,需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進(jìn)一步的判斷。

對(duì)函數(shù)與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認(rèn)識(shí)的過(guò)程,教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則.從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手,由具體到一般,建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系,然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。

函數(shù)與方程相比較,一個(gè)“動(dòng)”,一個(gè)“靜”;一個(gè)“整體”,一個(gè)“局部”。用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程,本質(zhì)上就是將局部的問(wèn)題放在整體中研究,將靜態(tài)的結(jié)果放在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究,這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識(shí)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課,因此教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度,從函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系的角度來(lái)引入較為適宜。

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1.結(jié)合具體的問(wèn)題,并從特殊推廣到一般,使學(xué)生領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。

2.結(jié)合函數(shù)圖象,通過(guò)觀察分析特殊函數(shù)的零點(diǎn)存在的特點(diǎn),通過(guò)問(wèn)題,理解連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法,并能由此方法判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)。了解定理應(yīng)用的前提條件,應(yīng)用的局限性,及定理的準(zhǔn)確結(jié)論。

3.通過(guò)具體實(shí)例,學(xué)生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

4.在學(xué)習(xí)過(guò)程中,體驗(yàn)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.通過(guò)前面的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型,掌握了函數(shù)圖象的一般畫(huà)法,及一定的看圖識(shí)圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象,判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解,學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn),或是函數(shù)應(yīng)用的意識(shí),造成對(duì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時(shí),有必要點(diǎn)明函數(shù)的核心地位,即說(shuō)明函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用,初步樹(shù)立起函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)。并從此出發(fā),通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置,引導(dǎo)學(xué)生思考,再通過(guò)實(shí)例的確認(rèn)與體驗(yàn),從直觀到抽象,從特殊到一般的學(xué)習(xí)方式,捅破學(xué)生認(rèn)識(shí)上的這層“窗戶紙”。

2.對(duì)于零點(diǎn)存在的判定定理,教材不要求給予其證明,這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知,同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生舉例來(lái)驗(yàn)證,最終能自主地獲得并確認(rèn)該定理的結(jié)論。對(duì)于定理的條件和結(jié)論,學(xué)生往往考慮不夠深入,需要教師通過(guò)具體的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。

3.函數(shù)的零點(diǎn),體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系,教學(xué)中應(yīng)遵循高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線的這一原則進(jìn)行聯(lián)結(jié),側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程,同時(shí)為二分法求方程的近似解作知識(shí)和思想上的準(zhǔn)備。 

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用,與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,若能抓住這一聯(lián)系,你就擁有了一把解決問(wèn)題的金鑰匙。

案例1:周長(zhǎng)為定值的矩形

不妨取l=12

問(wèn)題1:求其面積的值: ,

顯然面積是一個(gè)關(guān)于x的一個(gè)二次多項(xiàng)式,

用幾何畫(huà)板演示矩形的變化:

問(wèn)題2:求矩形面積的最大值?

當(dāng)x取不同值時(shí),代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化,你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎?

問(wèn)題3:能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?

(1)實(shí)驗(yàn)演示的角度進(jìn)行估計(jì),拖動(dòng)時(shí)難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;

(2)解方程:x(6-x)=8

(3)方程x(6-x)=8能否從函數(shù)的角度來(lái)進(jìn)行描述?

問(wèn)題4:

一般地,對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式,二次方程與二次函數(shù),它們之間有何聯(lián)系?

結(jié)論:

代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值;

方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。

更一般地

方程f(x)=0的根,就是使函數(shù)值y=f(x)的函數(shù)值為0的x值,從函數(shù)的角度我們稱之為零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課,有必要讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問(wèn)題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,并從學(xué)生所熟悉的具體的二次函數(shù),推廣到一般的二次函數(shù),再進(jìn)一步推廣到一般的函數(shù)。

(二)  互動(dòng)交流  研討新知

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念:

對(duì)于函數(shù),把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).

2.對(duì)零點(diǎn)概念的理解

案例2:觀察圖象

問(wèn)題1:此圖象是否能表示函數(shù)?

問(wèn)題2:你能從中分析函數(shù)有哪些零點(diǎn)嗎?

問(wèn)題3:從函數(shù)圖象的角度,你能對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)換一種說(shuō)法嗎?

結(jié)論:函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:

方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步掌握函數(shù)的核心概念,同時(shí)通過(guò)圖象進(jìn)行一步完善對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的全面理解,為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在性定理作好一定的鋪墊。

2.零點(diǎn)存在定理的探究

案例3:下表是三次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值表:

              

問(wèn)題1:你能從表中找出函數(shù)的零點(diǎn)嗎?

問(wèn)題2:結(jié)合圖象與表格,你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點(diǎn)的附近函數(shù)值有何特點(diǎn)?

生:兩邊的函數(shù)值異號(hào)!

問(wèn)題3:如果一個(gè)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點(diǎn)?

注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫(huà)),從而引出零點(diǎn)存在性定理.

問(wèn)題4: 有位同學(xué)畫(huà)了一個(gè)圖,認(rèn)為定理不一定成立,你的看法呢?

問(wèn)題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?

如1:加強(qiáng)定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)?

如2.將定理反過(guò)來(lái):若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個(gè)零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)<0?

如3:一般化:一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號(hào)零點(diǎn),如案例2中的零點(diǎn)-2)

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)表格,是為了進(jìn)一步鞏固對(duì)函數(shù)這一概念的全面認(rèn)識(shí),并為觀察零點(diǎn)存在性定理中函數(shù)值的異號(hào)埋下伏筆。通過(guò)教師的設(shè)問(wèn)讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容,而鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn),是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)造能力必要的過(guò)程。

(三)鞏固深化,發(fā)展思維

例1、求函數(shù)f(x)=?x+2x -6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

設(shè)計(jì)問(wèn)題:

(1)你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)?

(2)你是如何來(lái)確定零點(diǎn)所在的區(qū)間的?請(qǐng)各自選擇。

(3)零點(diǎn)是唯一的嗎?為什么?

設(shè)計(jì)意圖:對(duì)所學(xué)內(nèi)容鞏固,可以借助<幾何畫(huà)板>畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助<EXCEl>列出函數(shù)值表觀察。

本題可以使學(xué)生意識(shí)對(duì)零點(diǎn)的區(qū)間是不唯一的,為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。

讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟,零點(diǎn)的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。

(四)歸納整理,整體認(rèn)識(shí)

請(qǐng)回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容有哪些?

所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些?

你還獲得了什么?

      (五)作業(yè)(略)


本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/157384.html

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