正方形四四方方，簡單勻稱，是完美的幾何圖形之一。它有許多引人入勝的問題，例如，正方形或某些長方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干個小正方形呢？這就是有名的“正方分割問題”。

　　對這一問題的研究，不少人傾注了大量的心血，取得了令人矚目的成果。

　　二十世紀(jì)三十年代，一個長方形的完美的正方分割（如圖1，圖中數(shù)字表示所在正方形的邊長，下同），已成為熟知的事實(shí)。到了本世紀(jì)四十年代，人們又發(fā)現(xiàn)了另一個同樣有名的長方形的正方分割，如圖2。它們都是由九個規(guī)格不同的正方形所組成，為方便起見，我們稱它們?yōu)榫烹A的。

 
圖1                           圖2

　　現(xiàn)已證明：低于九階的長方形的正方分割不存在，并且，在九階的長方形的正方分割中，只有這兩種形式。因而圖1、圖2是兩個最完美的長方形的正方分割。

　　數(shù)學(xué)家們在當(dāng)時是怎樣想出上面這些分割的方法呢？他們也與我們遇到一個新問題時一樣，總是通過不斷地嘗試，細(xì)致地分析，反復(fù)地構(gòu)思，孜孜以求，鍥而不舍，才達(dá)到成功的。比如，在初中的基礎(chǔ)上，擬出一個圖形，如圖3，設(shè)它是一個長方形的正方分割。為便于分析，我們引進(jìn)三個未知數(shù)，設(shè)其中的三個小正方形的邊長分別為x、y、z。由此順次推出其他正方形的邊長為x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z。

 

 
圖3                            圖4
 

　　 因?yàn)閳D3是一個長方形，那么它的對邊就應(yīng)該相等，此時，x,y,z應(yīng)滿足下面的關(guān)系：

            

　　將這個方程組整理得

　　 

　　也就是

　　

　　若取Z=1，就有x=4,y=10。將它代入圖3就得到圖1的長為33、寬為32，且階數(shù)為九的長方形的正方分割。

　　那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，眾說紛紜，莫衷一是。直到本世紀(jì)三十年代末，德國的一位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了正方形的一種正方分割后，才算有了定論。后來，人們的目光又投向了一個新的目標(biāo)，尋求正方形的一種階數(shù)最低的正方分割。
 
　　在這一征途上的攀登是艱難的。到了七十年代，數(shù)學(xué)家才在計算機(jī)的幫助下，圓滿地解決了這一問題�，F(xiàn)已證明，4給出的21階的正方分割是階數(shù)最低的一種分割，因而，圖4是最完美的正方形的正方分割。

 

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