教學(xué)背景：
1．教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說,三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具.
2．學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前,學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),以及誘導(dǎo)公式一,為三角函數(shù)線的尋找做好了知識(shí)準(zhǔn)備.高一上學(xué)期研究指、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí),已帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了幾何畫板的基礎(chǔ)知識(shí)，現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫板應(yīng)用能力，能夠制作簡單的動(dòng)畫，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).
教學(xué)目標(biāo)：
1．知識(shí)目標(biāo): 使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值,并能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.
2．能力目標(biāo): 借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；在論壇上開展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.
3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境.
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：
1．重點(diǎn)：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用.
2．難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.
教學(xué)方法與教學(xué)手段：
1．教法選擇：“設(shè)置問題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”——科研式教學(xué).
2．學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程；猜想、求證，達(dá)到知識(shí)的延展.
3．教學(xué)手段：本節(jié)課地點(diǎn)選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫板軟件探討數(shù)學(xué)問題，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn); 借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點(diǎn),展示自己的才能.
教學(xué)過程：
一、設(shè)置疑問,實(shí)驗(yàn)探索（17分鐘）
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
設(shè)
置
疑
問,點(diǎn)明主題
前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長，r是圓的半徑.特別地, 當(dāng)r =1時(shí)，,此時(shí)的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對(duì)圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.
既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過類比聯(lián)想主動(dòng)、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.
概
念
學(xué)
習(xí),分
散
難
點(diǎn)
有向線段：帶有方向的線段.
（1）方向：按書寫順序，前者為起點(diǎn)，后者為終點(diǎn)，由起點(diǎn)指向終點(diǎn).
如：有向線段OM,O為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)，由O點(diǎn)指向M點(diǎn).
（動(dòng)態(tài)演示）
(2) 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）
絕對(duì)值等于線段的長度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如：
OM= 1,
ON= -1,
AP =
相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點(diǎn),使學(xué)生能夠更多的圍繞重點(diǎn)展開探索和研究.
實(shí)驗(yàn)探 索,
辨析研討
1.(復(fù)習(xí)提問)任意角的正弦如何定義?
角的終邊上任意一點(diǎn)P(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是（），它與原點(diǎn)的距離是r, 比值叫做的正弦.
思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?
學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉(zhuǎn)化, 類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，則有向線段MP=.(學(xué)生分析的同時(shí),教師用幾何畫板演示)
請(qǐng)學(xué)生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個(gè)位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對(duì)應(yīng).特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時(shí),有向線段MP變成一個(gè)點(diǎn),記數(shù)值為0.
這條與單位圓有關(guān)的有向線段MP叫做角的正弦線.
2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由.
請(qǐng)學(xué)生用幾何畫板演示說明.
有向線段OM叫做角的余弦線.
3. 如何用有向線段表示？
討論焦點(diǎn)：
若令=1, 則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，若此時(shí)取=-1的點(diǎn)T‘，tan=-=T‘A‘,有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一.
引導(dǎo)觀察：
當(dāng)角的終邊互為反向延長線時(shí)，它們的正切值有什么關(guān)系？
統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：
方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點(diǎn)T，則tan==AT；
方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識(shí)得到=.
幾何畫板演示驗(yàn)證:
當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，tan與有向線段AT的對(duì)應(yīng).
這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT叫做角的正切線.
美國華盛頓一所大學(xué)有句名言:“我聽見了,就忘記了;我看見了,就記住了;我做過了,就理解了.”要想讓學(xué)生深刻理解三角函數(shù)線的概念，就應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)去探索，大膽去實(shí)踐，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程.
教學(xué)已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個(gè)體，而是把他們的教和學(xué)看成是相互影響的辯證發(fā)展過程.在和諧的氛圍中，教師和學(xué)生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達(dá)各自的意見，在自己積極思維的同時(shí)又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進(jìn)入更加廣闊的領(lǐng)域.
二、作法總結(jié),變式演練（13分鐘）
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
作法總結(jié)
正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.
請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫板演示(一學(xué)生描述,同時(shí)用電腦演示)：
第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)P；
第二步：過點(diǎn)P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；
第三步：過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點(diǎn)設(shè)為T，得角的正切線AT.
特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時(shí)，要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)（1，0）.
及時(shí)歸納總結(jié)，加深知識(shí)的理解和記憶.
變式演練,提高能力
練習(xí)：利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
（1）; （2）.
學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.
例1 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊：
（1）； （2）；
（3）.
共同分析（1），設(shè)角的終邊與單位圓交于P(),則=,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)P，則射線OP即為的終邊.（幾何畫板動(dòng)態(tài)演示）
請(qǐng)學(xué)生分析（2）、(3),同時(shí)用幾何畫板演示.
例2 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：
（1）≥ ; （2）≤- .
分析：先作出滿足 ，的角的終邊(例1已做)，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫板動(dòng)態(tài)演示）
答案：（1）{}.
（2）{}.
延伸：通過（1）、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集：
{}.
鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線的作法.
逆向思維,靈活運(yùn)用三角函數(shù)線,并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.
數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用.
三、思維拓展,論壇交流（10分鐘）
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
思
維
拓
展,論壇交流
觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識(shí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？請(qǐng)說明你的觀點(diǎn)和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 (bbs.jzyz.jzedu.cn).
學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：
(1) sin2 + cos2 = 1;
(2)│sin│ + │cos │≥1;
(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R;
(4) 若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù);
(5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;
(6) 當(dāng)角的終邊在直線的右下方時(shí), sin＜cos ;當(dāng)角的終邊在直線的左上方時(shí), sin＞cos ;
……
給學(xué)生建設(shè)一個(gè)開放的、有活力、有個(gè)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.論壇交流既能展示個(gè)人才華,又能照顧到各個(gè)層次的學(xué)生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識(shí)又被他人的視點(diǎn)喚起，產(chǎn)生新的思想.這樣的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個(gè)個(gè)階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.
四、歸納小結(jié),課堂延展（5分鐘）
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
歸
納
小
結(jié)
1.回顧三角函數(shù)線作法.
2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).
回顧三角函數(shù)線作法,再次加深理解和記憶.點(diǎn)明三角函數(shù)線在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考,更廣泛的研究.
鞏固創(chuàng)新,
課
堂
延
展
鞏固作業(yè):習(xí)題4.3 1,2
提升練習(xí)：
1. 已知：，那么下列命題成立的是（ ）
A．若、是第一象限的角，則cos>cos.
B. 若、是第二象限的角，則tan>tan.
C. 若、是第三象限的角，則cos>cos.
D. 若、是第四象限的角，則tan>tan.
2．求下列函數(shù)的定義域：
（1） y = ; (2) y = lg(3－4sin2x) .
延展作業(yè):
1. 類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？
2.結(jié)合三角函數(shù)線我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價(jià)值的結(jié)論,你還能得出哪些結(jié)論？請(qǐng)大家繼續(xù)在論壇上交流.
3.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡,了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流.
既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時(shí)將探究的空間由課堂延伸到課外.
教學(xué)設(shè)計(jì)說明:
1.讓計(jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)真正走入數(shù)學(xué)課堂,發(fā)揮它們的輔助作用.
“讓計(jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)走入數(shù)學(xué)課堂”是提出了多年的口號(hào)，但是如何真正讓多媒體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用卻是我們一直在探索的問題.本節(jié)課有較廣的延展面，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)新能力的很好素材，但是要在一節(jié)課45分鐘時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)構(gòu)想，對(duì)課的安排提出了非常高的要求.幾何畫板軟件的動(dòng)畫演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗(yàn)，探討數(shù)學(xué)問題；網(wǎng)絡(luò)論壇可以讓他們充分交流，相互學(xué)習(xí).為此，我把授課地點(diǎn)放在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識(shí)也有了相應(yīng)的提高.
2.不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.
課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂,獨(dú)立學(xué)習(xí),所以不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.本節(jié)課所采用的科研式教學(xué)法體現(xiàn)了研究新問題的一般思路,讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟這種科學(xué)的研究方法,有利于他們今后能夠獨(dú)立地開展科研活動(dòng).
3.使學(xué)生始終保持學(xué)習(xí)興趣,快樂學(xué)數(shù)學(xué).
蘇霍姆林斯基說過：“在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者和探索者.”本節(jié)課正是抓住學(xué)生的這一心理需求，充分利用互動(dòng)工具，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、思考探索，合作交流，真正意義上做到尊重學(xué)生的創(chuàng)造性，挖掘?qū)W生的潛力，讓他們對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過程充滿激情，快樂學(xué)數(shù)學(xué)！
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/111843.html
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