北京市西城區(qū)2015 — 2015學年度第一學期期末試卷高三數(shù)學(理科)第Ⅰ卷(共40分)一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合,,則集合( )(A) (B) (C) (D)2.已知復數(shù)z滿足,那么的虛部為( )(A) (B) (C) (D)3.在△ABC中,,,,( )(A) (B) (C) (D)4.執(zhí)行如圖所示的程序框 (B) (C) (D)5.已知圓與x軸切于A點,與y軸切于B點,設劣弧的中點為M,則過點M的圓C的切線方程是( )(A) (B)(C) (D)6.若曲線為焦點在軸上的橢圓,則實數(shù),滿足( )(A) (B) (C) (D)7..定義域為R的函數(shù)滿足,且當時,,則當時,的最小值為( ) (A) (B) (C) (D)8.如圖,正方體的棱長為,動點P在對角線上,過點P作垂直于的平面,記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y,設x,則當時,函數(shù)的值域為( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】試題分析:棱長為,故體對角線=,根據(jù)對稱性,只需研究,函數(shù)的值域,連接,則面,此時,當時,截面周長為截面周長的一半,即,當時,即當截面過體對角線中點時,此時截面為正六邊形,其頂點為個棱的中點,如圖所示,截面周長為.,所以函數(shù)的值域為.考點:1、直線和平面垂直的判定;2、截面周長.第Ⅱ卷(共110分)二、填空題(每題5分,滿分30分,將答案填在答題紙上)9.在平面中,點,,若向量,則實數(shù) _____.,因為,故,即,解得.考點:1、向量的坐標運算;2、向量垂直.10.若等差數(shù)列滿足,,則______;______.______.甲、乙兩從中各選,則所選的中恰有1相同的選法______. (用數(shù)字作答)13.如圖,為圓上的兩個點,為延長線上一點,為圓的切線,為切點. 若,,則______;______.平面中,記不等式組所表示的平面區(qū)域為.在映射的作用下,區(qū)域內(nèi)的點對應的象為點. (1)在映射的作用下,點的原象是 ;(2)由點所形成的平面區(qū)域的面積為______.13分)已知函數(shù),,且的最小正周期為.(Ⅰ)若,,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.16.(本小題滿分13分)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組名同學乙組記錄中有一個數(shù)模糊,無法確認,表示. ()求的值時,分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學,記這兩名同學數(shù)學成績之差的絕對值為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望所以的數(shù)學期望14分)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3, H是CF的中點.(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;(Ⅱ)求直線DH與平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的大小.又因為 平面,所以 . 因為 ,所以平面. (Ⅲ)解:由(Ⅱ),得,.設平面的法向量為,所以 即令,得. 由平面,得平面的法向量為,則. 由圖可知二面角為銳角,所以二面角的大小為. 考點:1、直線和平面垂直的判定定理;2、直線和平面所成的角;3、二面角.18.(本小題滿分13分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)時,試確定函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由.【答案】(Ⅰ)的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為;(Ⅱ)詳見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)求導得,,因為,所以的解集為,即單調(diào)遞增區(qū)間;的解集為,即單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)函數(shù),令,得,顯然是一個零點,記,求導得,易知時遞減;時遞增,故的最小值,又,故,即,所以函數(shù)的零點個數(shù)1個.試題解析:(Ⅰ)解:因為,,所以.,得.變化時,和的變化情況如下:??故的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.14分)已知是拋物線的坐標為,直線的斜率為k, 為坐標原點.(Ⅰ)若拋物線的下方,求k的取值范圍;(Ⅱ)設C為W上一點,且,過兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為,求的最小值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】考點:1、直線的方程;2、直線和拋物線的位置關系;3、導數(shù)的幾何意義.20.(本小題滿分13分)設無窮的公比為q,且,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)(如),記,數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若對于任意不超過的正整數(shù)n,都有,證明:.()()的充分必要條件為.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案詳見解析;(),所以 ,. 因為 ,所以 , . 由 ,得 . 因為 , 所以 , 所以 ,即 . 考點:1、等比數(shù)列的通項公式;2、數(shù)列前n項和;3、充要條件. 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價值的甲組乙組8901a822北京市西城區(qū)2015屆高三上學期期末考試試題(數(shù)學 理)
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