基礎(chǔ)熱身
1．若f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，則f′(x)＝________.
2．若曲線運(yùn)動方程為S＝1－tt2＋2t2，則t＝2時的速度為________．
3．下列結(jié)論：
①若y＝cosx，則y′＝－sinx；
②若y＝x，則y′＝x2；
③若f(x)＝1x2，則f′(3)＝－227；
④若y＝ex，則y′＝y(tǒng).
其中正確的有________個．
4．曲線y＝x3－2x＋4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為________．
能力提升
5．如圖K13－1，函數(shù)y＝f(x)在A、B兩點(diǎn)間的平均變化率是________．
圖K13－1
6．f(x)＝x，則f′(8)等于________．
7．[2014?泰州調(diào)研] 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋lnx，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝ax＋b，則a＋b＝________.
8．某物體運(yùn)動規(guī)律是S＝t2－4t＋5，則在t＝________時的瞬時速度為0.
9．[2014?湛江模擬] 函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)，且它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象是如圖K13－2所示的一條直線，則y＝f(x)圖象的頂點(diǎn)在第________象限．
圖K13－2
10．[2014?南京二模] 若直線y＝kx－3與曲線y＝2lnx相切，則實(shí)數(shù)k＝________.
11．[2014?全國卷改編] 曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為________．
12．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________.
13．(8分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝3xex－2x＋e；
14．(8分)曲線y＝x2＋1上過點(diǎn)P的切線與曲線y＝－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
15．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－bx，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．
16．(12分)已知函數(shù)f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍；
(2)試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點(diǎn)？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．
課時作業(yè)(十三)
【基礎(chǔ)熱身】
1．2x2 [解析] 由f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，得f?x＋h?－f?x?h＝2x2＋5hx＋3h2，當(dāng)h無限趨近于0時，得f′(x)＝2x2.
2．8 [解析] S′(t)＝－2t3＋1t2＋4t，t＝2時的速度S′(2)＝8.
3．3 [解析] 由公式得①③④正確，而由冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式得：若y＝x，則y′＝12x .
4．45° [解析] y′＝3x2－2，y′x＝1＝1，則tanα＝1，故傾斜角為45°.
【能力提升】
5．－1 [解析] f(1)＝3，f(3)＝1，因此f?3?－f?1?3－1＝－1.
6.28 [解析] f(x)＝x12，f′(x)＝12x－12＝12x，f′(8)＝128＝28.
7．1 [解析] 由題知，f(1)＝12＋ln1＝1.又因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上，于是有a＋b＝1.
8．2 [解析] 由導(dǎo)數(shù)的物理背景得v＝S′(t)＝2t－4＝0?t＝2.
9．一 [解析] 由圖象得y＝f′(x)是一次函數(shù)，所以y＝f(x)是二次函數(shù)．
又f(x)的圖象過原點(diǎn)，所以可設(shè)：f(x)＝ax2＋bx，
f′(x)＝2ax＋b.
結(jié)合f′(x)的圖象可知，a<0，b>0，
∴－b2a>0，4ac－b24a＝－b24a>0，即頂點(diǎn)－b2a，4ac－b24a在第一象限．
10．2e [解析] 設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)P(x0，y0)，
由題意得：y0＝kx0－3，y0＝2lnx0，k＝2x0，解得y0＝－1，x0＝1e，k＝2e.
11.13 [解析] 函數(shù)y＝e－2x＋1的導(dǎo)數(shù)為y′＝－2e－2x，則y′x＝0＝－2，曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線方程是2x＋y－2＝0，直線y＝x與直線2x＋y－2＝0的交點(diǎn)為23，23，直線y＝0與直線2x＋y－2＝0的交點(diǎn)為(1,0)，三角形的面積為12×1×23＝13.
12．－g(x) [解析] 由給出的例子可以歸納推理得出：若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，即有g(shù)(－x)＝－g(x)．
13．[解答] (1)解法一：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′＝18x2＋4x－3.
解法二：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3?ex＋3xex－2xln2＝3xexln3e－2xln2.
(3)y′＝?lnx?′?x2＋1?－lnx??x2＋1?′?x2＋1?2
＝1x?x2＋1?－lnx?2x?x2＋1?2＝x2?1－2lnx?＋1x?x2＋1?2.
14．[解答] 方法一：設(shè)P(x0，y0)，由題意知曲線y＝x2＋1在P點(diǎn)的切線斜率為k＝2x0，切線方程為y＝2x0x＋1－x20，而此直線與曲線y＝－2x2－1相切，∴切線與曲線只有一個交點(diǎn)，即方程2x2＋2x0x＋2－x20＝0的判別式Δ＝4x20－2×4×(2－x20)＝0，
解得x0＝±233，y0＝73.
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為233，73或－233，73.
方法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)分別為切線與曲線y＝x2＋1和y＝－2x2－1的切點(diǎn)．
則y1＝x21＋1，y2＝－2x22－1，k切＝2x1，k切＝－4x2，k切＝y(tǒng)1－y2x1－x2，∴x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1＝－4x2，
∴x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1，x1＝－2x2，
消去x1，得x2＝±33，則x1＝±233，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為233，73或－233，73.
15．[解答] (1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝74x－3.
當(dāng)x＝2時，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，
于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3，故f(x)＝x－3x.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋3x2，知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．
令x＝0，得y＝－6x0，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，－6x0；
令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．
所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為12－6x02x0＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.
16．[解答] (1)f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
即過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．
(2)設(shè)曲線C上存在過點(diǎn)A(x1，y1)的切線與曲線C同時切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B(x2，y2)，x1≠x2，
則切線方程是y－13x31－2x21＋3x1＝(x21－4x1＋3)(x－x1)，
化簡，得y＝(x21－4x1＋3)x＋－23x31＋2x21.
而過B(x2，y2)的切線方程是y＝(x22－4x2＋3)x＋－23x32＋2x22，
由于兩切線是同一直線，
則有x21－4x1＋3＝x22－4x2＋3，得x1＋x2＝4.
又由－23x31＋2x21＝－23x32＋2x22，
得－23(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＋2(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
－13(x21＋x1x2＋x22)＋4＝0，x1(x1＋x2)＋x22－12＝0，
即(4－x2)×4＋x22－12＝0，x22－4x2＋4＝0，
得x2＝2.但當(dāng)x2＝2時，由x1＋x2＝4得x1＝2，
這與x1≠x2矛盾，
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/74742.html
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