從某種角度看數(shù)學屬于形式科學的一種，下面是數(shù)學網(wǎng)整理的定直線問題專項練習，請考生認真練習。

在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p0)相交于A，B兩點。

(1)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值;

(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由。

破題切入點：假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解。

解：方法一：

(1)依題意，點N的坐標為N(0，-p)，

可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直線AB的方程為y=kx+p，

與x2=2py聯(lián)立得：

消去y得x2-2pkx-2p2=0。

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

當k=0時，(S△ABN)min=2p2。

(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，

AC的中點為O，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，

則OHPQ，Q點的坐標為。

∵OP=AC==，

OH==|2a-y1-p|，

PH2=OP2-OH2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

令a-=0，得a=，

此時PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，

其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線。

方法二：

(1)前同方法一，再由弦長公式得

AB=|x1-x2|=2p，

又由點到直線的距離公式得d=。

從而S△ABN=dAB=2p=2p2。

當k=0時，(S△ABN)min=2p2。

(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，

則以AC為直徑的圓的方程為

(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

則=x-4(a-p)(a-y1)

=4[(a-)y1+a(p-a)]。

設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

則有PQ=|x3-x4|=2。

令a-=0，得a=，

此時PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，

其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線。

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