1.觀察與實驗
(1)觀察法:有目的有計劃的通過視覺直觀的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的規(guī)律、性質(zhì)和解決問題的途徑。
(2)實驗法:實驗法是有目的的、模擬的創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學(xué)對象,通過觀察研究將復(fù)雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強,特征清晰,同時可以試探解法、檢驗結(jié)論的重要優(yōu)勢。
2.比較與分類
(1)比較法
是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數(shù)學(xué)上兩類數(shù)學(xué)對象必須有一定的關(guān)系才好比較。我們常比較兩類數(shù)學(xué)對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。
(2)分類的方法
分類是在比較的基礎(chǔ)上,依據(jù)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的異同,把相同性質(zhì)的對象歸入一類,不同性質(zhì)的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數(shù)的k在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現(xiàn)了不重不漏的原則。
3.特殊與一般
(1)特殊化的方法
特殊化的方法是從給定的區(qū)域內(nèi)縮小范圍,甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況,再去考慮問題的解答和合理性。
(2)一般化的方法
4.聯(lián)想與猜想
(1)類比聯(lián)想
類比就是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性,聯(lián)想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。
通過類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的知識;通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法和途徑:
(2)歸納猜想
牛頓說過:沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以發(fā)現(xiàn)真理,發(fā)現(xiàn)論斷;猜想可以預(yù)見證明的方法和思路。初中數(shù)學(xué)主要是對命題的條件觀察得出對結(jié)論的猜想,或?qū)l件和結(jié)論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。
歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結(jié)論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的,不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤,因此作為結(jié)論是需要證明的。關(guān)鍵是猜之有理、猜之有據(jù)。
5.換元與配方
(1)換元法
解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來;蛘咦?yōu)槭煜さ男问,把?fù)雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時,要遵循有利于運算、有利于標準化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍,不能縮小也不能擴大。你可以先觀察算式,你可以發(fā)現(xiàn)這種要換元法的算式中總是有相同的式子,然后把他們用一個字母代替,算出答案,然后答案中如果有這個字母,就把式子帶進去,計算就出來啦。
(2)配方法
配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡。何時配方,需要我們適當預(yù)測,并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這個公式靈活運用,可得到各種基本配方形式。
6.構(gòu)造法與待定系數(shù)法
(1)構(gòu)造法所謂構(gòu)造性的方法就是數(shù)學(xué)中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。常見的有構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造圖形,構(gòu)造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構(gòu)造法。構(gòu)造法解題有:直接構(gòu)造、變更條件構(gòu)造和變更結(jié)論構(gòu)造等途徑。
(2)待定系數(shù)法:將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù),或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式,這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。
7.公式法與反證法
(1)公式法
利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應(yīng)用:
(2)反證法
是“間接證明法”一類,即:肯定題設(shè)而否定結(jié)論,從而得出矛盾,就可以肯定命題的結(jié)論的正確性,從而使命題獲得了證明。
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