與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一樣,數(shù)學(xué)思想也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。重視與加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué),這對(duì)于抓好雙基,培養(yǎng)能力以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用。本人結(jié)合幾年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,認(rèn)為初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想有以下幾種:

一、化歸轉(zhuǎn)換思想

化歸,即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思。把有待解決或未解決的問題,通過轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為所熟悉的規(guī)范性問題或已解決的問題中去,從而求得問題解決的思想。

人們?cè)谘芯窟\(yùn)用數(shù)學(xué)的長期實(shí)踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),許多問題的解決已經(jīng)形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有規(guī)定的解決方法和程序的問題,叫做規(guī)范問題,而把一個(gè)未知的或復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題的過程稱為問題的化歸。

例如,對(duì)于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程),人們已經(jīng)掌握了等式基本性質(zhì)、求根公式等理論,因此,求解整式方程的問題是規(guī)范問題,而把有關(guān)分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的過程,就是問題的規(guī)范化。

為了實(shí)現(xiàn)“化歸”,數(shù)學(xué)中常常借助于“代換”,又稱之為轉(zhuǎn)換。代數(shù)中有恒等變換,方程、不等式的同解變換;幾何中全等變換、相似變換、等積變換。轉(zhuǎn)換是手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索轉(zhuǎn)換的手段就構(gòu)成解題的思路和技藝。例如,已知x2+y2+2x-6y+10=0,求xy。對(duì)于初中生來說本題無法直接解出關(guān)于x,y的二元二次方程。但是如果從完全平方公式著手,已知條件可以轉(zhuǎn)換為(x+1)2+(y-3)2=0。又因?yàn)榕即蝺缇哂蟹秦?fù)性,即(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,所以(x+1)2=0,(y-3)2=0,從而得出x=-1,y=3。最終問題得以解決。

二、分解組合思想

當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問題不能以統(tǒng)一的形式解決時(shí),可以把涉及的范圍分解為若干個(gè)分別研究問題局部的解。然后通過組合各局部的解而得到原問題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱為分類討論法。

分解組合,是重要的數(shù)學(xué)思想之一。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算題、證明題等,運(yùn)用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學(xué)生進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治?從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長分別是4和5,求這個(gè)等腰三角形的周長。解決本題首先分類討論:①若4為底,則5為腰,三邊長分別為4,5,5,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長為14;②若5為底,則4為腰,三邊長分別為5,4,4,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長為13。

三、方程函數(shù)思想

方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想,在解決一般數(shù)學(xué)問題中具有重大的意義。在初中數(shù)學(xué)中,方程與函數(shù)是極為重要的內(nèi)容,對(duì)各類方程和簡單函數(shù)都有了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)研究。對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問題,常常只須尋找等量關(guān)系,列出一個(gè)或幾個(gè)方程(方程組)或函數(shù)關(guān)系式,就能很好地得到解決。

例如,某燈具店采購了一批某種型號(hào)的節(jié)能燈,共用去400元。在搬運(yùn)過程中不慎打碎了5盞,該店把余下的燈每盞加價(jià)4元全部售出,然后用所得的錢又采購了一批這種節(jié)能燈,且進(jìn)價(jià)與上次相同,但購買的數(shù)量比上次多了9盞,求每盞燈的進(jìn)價(jià)。如果設(shè)每盞燈的進(jìn)價(jià)為x,則(4+x)(400/x-5)-400=9x。本題的等量關(guān)系是兩次采購的錢數(shù)。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問題獲得了有力的代數(shù)工具,同時(shí)也使許多代數(shù)問題具有了顯明的直觀性。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中十分重要的思想,在數(shù)學(xué)問題的解決中具有數(shù)學(xué)獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。例如,二元一次方程組的圖像解法,把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題:A、B兩地之間修建一條100千米長的公路,C處是以C點(diǎn)為中心,方圓50千米的自然保護(hù)區(qū),A在C西南方向,B在C的南偏東30度方向,問公路AB是否會(huì)經(jīng)過自然保護(hù)區(qū)?

當(dāng)然,初中數(shù)學(xué)所涉及到的數(shù)學(xué)思想不止這四種。以上只是本人對(duì)初中數(shù)學(xué)常見的幾種數(shù)學(xué)思想的淺見,在今后的教學(xué)實(shí)踐中本人將更加重視與加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué),提高學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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