關(guān)于平面幾何的60條著名定理

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

一些平面幾何的著名定理 

 1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

  2、射影定理(歐幾里得定理)

  3、三角形的三條中線交于一點(diǎn),并且,各中線被這個點(diǎn)分成2:1的兩部分

  4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點(diǎn)

  5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

  6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點(diǎn)。

  7、三角形的三條高線交于一點(diǎn)

  8、設(shè)三角形ABC的外心為O,垂心為H,從O向BC邊引垂線,設(shè)垂足為L,則AH=2OL

  9、三角形的外心,垂心,重心在同一條直線(歐拉線)上。

  10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓)三角形中,三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足,以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),這九個點(diǎn)在同一個圓上,

  11、歐拉定理:三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

  12、庫立奇*大上定理:(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)

  圓周上有四點(diǎn),過其中任三點(diǎn)作三角形,這四個三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上,我們把過這四個九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

  13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),內(nèi)切圓的半徑公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s為三角形周長的一半

  14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)

  15、中線定理:(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P,則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

  16、斯圖爾特定理:P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n,則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

  17、波羅摩及多定理:圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時,連接AB中點(diǎn)M和對角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD

  18、阿波羅尼斯定理:到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P,位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

  19、托勒密定理:設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓,則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

  20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊,分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,則△DEF是正三角形,
 21、愛爾可斯定理1:若△ABC和△DEF都是正三角形,則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

  22、愛爾可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

  23、梅涅勞斯定理:設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

  24、梅涅勞斯定理的逆定理:(略)

  25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1:設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R,、∠B的平分線交邊CA于Q,則P、Q、R三點(diǎn)共線。

  26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2:過任意△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線,分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R,則P、Q、R三點(diǎn)共線

  27、塞瓦定理:設(shè)△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線,分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點(diǎn)P、Q、R,則BPPC×CQQA×ARRB()=1.

  28、塞瓦定理的應(yīng)用定理:設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E,又設(shè)BE和CD交于S,則AS一定過邊BC的中心M

  29、塞瓦定理的逆定理:(略)

  30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1:三角形的三條中線交于一點(diǎn)

  31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T,則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

  32、西摩松定理:從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線,設(shè)其垂足分別是D、E、R,則D、E、R共線,(這條直線叫西摩松線)

  33、西摩松定理的逆定理:(略)

  34、史坦納定理:設(shè)△ABC的垂心為H,其外接圓的任意點(diǎn)P,這時關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心。

  35、史坦納定理的應(yīng)用定理:△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線。

  36、波朗杰、騰下定理:設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R,則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).

  37、波朗杰、騰下定理推論1:設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn),若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn),則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)

  38、波朗杰、騰下定理推論2:在推論1中,三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。

  39、波朗杰、騰下定理推論3:考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線,如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦,則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)

  40、波朗杰、騰下定理推論4:從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線,設(shè)垂足分別是D、E、F,且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N,則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個圓上,這時L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。
  41、關(guān)于西摩松線的定理1:△ABC的外接圓的兩個端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直,其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

  42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理):在一個圓周上有4點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線,這些西摩松線交于一點(diǎn)。

  43、卡諾定理:通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P,引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF,與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線。

  44、奧倍爾定理:通過△ABC的三個頂點(diǎn)引互相平行的三條直線,設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N,在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P,則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線

  45、清宮定理:設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn),P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時,QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線

  46、他拿定理:設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點(diǎn),點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時,如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別為ED、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn):P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn),如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))

  47、朗古來定理:在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,在圓周取一點(diǎn)P,作P點(diǎn)的關(guān)于這4個三角形的西摩松線,再從P向這4條西摩松線引垂線,則四個垂足在同一條直線上。

  48、九點(diǎn)圓定理:三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱這個圓為九點(diǎn)圓[nine-point circle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓.

  49、一個圓周上有n個點(diǎn),從其中任意n-1個點(diǎn)的重心,向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。

  50、康托爾定理1:一個圓周上有n個點(diǎn),從其中任意n-2個點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。

  51、康托爾定理2:一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn),則M和N點(diǎn)關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

  52、康托爾定理3:一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

  53、康托爾定理4:一個圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

  54、費(fèi)爾巴赫定理:三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

  55、莫利定理:將三角形的三個內(nèi)角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點(diǎn),則這樣的三個交點(diǎn)可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

  56、牛頓定理1:四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn),三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

  57、牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn),及該圓的圓心,三點(diǎn)共線。

  58、笛沙格定理1:平面上有兩個三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交,則這三個交點(diǎn)共線。

  59、笛沙格定理2:相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交,則這三個交點(diǎn)共線。

  60、布利安松定理:連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F,則這三線共點(diǎn)。

  60、巴斯加定理:圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點(diǎn)共線。

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