即非有理數(shù)之實數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。 常見的無理數(shù)有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時為超越數(shù)）等。
無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。如圓周率π、
等。無理數(shù)性質(zhì)：
無限不循環(huán)的小數(shù)就是無理數(shù)。換句話說，就是不可以化為整數(shù)或者整數(shù)比的數(shù)
性質(zhì)1 無理數(shù)加（減）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)2 無理數(shù)乘（除）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)3 無理數(shù)加（減）有理數(shù)一定是無理數(shù)
性質(zhì)4 無理數(shù)乘（除）一個非0有理數(shù)一定是無理數(shù)
無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，
比如：4=4.0，
=0.8，
=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，
比如：
=1.414213562…………根據(jù)這一點，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)；
2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比,而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點，有人建議給無理數(shù)摘掉，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
無理數(shù)的識別：
判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，關鍵就看它能不能寫出無限不循環(huán)小數(shù)，而把無理數(shù)寫成無限不循環(huán)小數(shù)，不但麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識無法解決的難題。
初中常見的無理數(shù)有三種類型：
（1）含根號且開方開不盡的方根，但切不可認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；
（2）化簡后含π的式子；
（3）不循環(huán)的無限小數(shù)。
掌握常見無理數(shù)的類型有助于識別無理數(shù)。
無理數(shù)的歷史：
畢達哥拉斯（Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間）是古希臘的大數(shù)學家。他證明許多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯將數(shù)學知識運用得純熟之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數(shù)學領域擴大到哲學，用數(shù)的觀點去解釋一下世界。經(jīng)過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數(shù)”的觀點，數(shù)的元素就是萬物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒有不可以用數(shù)來表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。在他死后大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發(fā)展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學派領導人惶恐，認為這將動搖他們在學術界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，于是希伯索斯被殘忍地扔進了大海。
希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無限直線等同看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術連續(xù)統(tǒng)的設想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱為數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機，對以后2000多年數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。
不可約的本質(zhì)是什么？長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直認為是不可理喻的數(shù)。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。
然而真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名“無理數(shù)”——這就是無理數(shù)的由來。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuzhong/374965.html
相關閱讀：初中數(shù)學余弦型函數(shù)公式定理